ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 610

Уравнение вида $\text{tg } x = a$ для любого действительного числа $a$ имеет решение, задаваемое формулой: $$ x = \text{arctg } a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Для отрицательных значений аргумента используется свойство: $\text{arctg }(-a) = -\text{arctg } a$. 1) $\text{tg } x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $$ x = \text{arctg }\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\text{arctg }\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 2) $\text{tg } x = \sqrt{3}$ $$ x = \text{arctg } \sqrt{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\text{arctg } \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, получаем: $$ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 3) $\text{tg } x = -\sqrt{3}$ $$ x = \text{arctg }(-\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\text{arctg } \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 4) $\text{tg } x = -1$ $$ x = \text{arctg }(-1) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\text{arctg } 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 5) $\text{tg } x = 4$ Число $4$ не является табличным значением тангенса, поэтому ответ записывается через арктангенс: $$ x = \text{arctg } 4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \text{arctg } 4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 6) $\text{tg } x = -5$ $$ x = \text{arctg }(-5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Используя нечетность арктангенса $\text{arctg }(-5) = -\text{arctg } 5$: $$ x = -\text{arctg } 5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\text{arctg } 5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.