ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 613

Решим данное тригонометрическое уравнение: $$ 3 \operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0 $$ Перенесём слагаемое без переменной в правую часть: $$ 3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3} $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ \operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Используем формулу корней уравнения $\operatorname{tg} x = a$, то есть $x = \operatorname{arctg} a + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$: $$ x = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем общее решение: $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Подберём значения целого параметра $k$, чтобы найти требуемые корни: 1. При $k = 0$: $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6} $$ Это число положительное ($x > 0$). При $k \geqslant 1$ корни будут больше $\frac{\pi}{6}$, а при $k \leqslant -1$ — отрицательными. Следовательно, наименьший положительный корень равен $\frac{\pi}{6}$. 2. При $k = -1$: $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6} $$ Это число отрицательное ($x < 0$). При $k \leqslant -2$ корни будут меньше $-\frac{5\pi}{6}$ (например, при $k = -2$ получаем $x = -\frac{11\pi}{6}$). Следовательно, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{5\pi}{6}$. Ответ: наименьший положительный корень равен $\frac{\pi}{6}$, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{5\pi}{6}$.