ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 573

**1)** $\cos 4x = 1$ Используем частный случай решения уравнения $\cos t = 1$: $$ 4x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части уравнения на $4$: $$ x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **2)** $\cos 2x = -1$ Используем частный случай решения уравнения $\cos t = -1$: $$ 2x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **3)** $\sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = -1$ Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $$ \cos \frac{x}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ По общей формуле корней уравнения $\cos t = a$: $t = \pm \arccos a + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$, получаем: $$ \frac{x}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим обе части уравнения на $4$: $$ x = \pm 3\pi + 8\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \pm 3\pi + 8\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **4)** $2 \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3}$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \cos \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, запишем корни уравнения: $$ \frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим обе части уравнения на $3$: $$ x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **5)** $\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0$ Используем частный случай решения уравнения $\cos t = 0$: $$ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из обеих частей: $$ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$ x = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **6)** $\cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 0$ Используем частный случай решения уравнения $\cos t = 0$: $$ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Прибавим $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям: $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$.