ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 551

1) Упростим выражение: $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} $$ Применим формулы синуса и косинуса суммы: * $\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$; * $\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$. Преобразуем числитель: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $$ Преобразуем знаменатель: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha $$ Подставим полученные результаты в исходную дробь: $$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha $$ Ответ: $\operatorname{tg}\alpha$. --- 2) Упростим выражение: $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} $$ Применим формулы синуса и косинуса разности: * $\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$; * $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha$. Преобразуем числитель: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha $$ Преобразуем знаменатель: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = -\sqrt{2}\sin\alpha $$ Подставим полученные результаты в исходную дробь: $$ \frac{\sqrt{2}\cos\alpha}{-\sqrt{2}\sin\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\operatorname{ctg}\alpha $$ Ответ: $-\operatorname{ctg}\alpha$.