ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 554

**1)** Вычислим значение выражения: $$ \frac{\sqrt{3}\ (\cos 75^\circ - \cos 15^\circ)}{1 - 2\sin^2 15^\circ}. $$ Преобразуем числитель с помощью формулы разности косинусов: $$ \cos \alpha - \cos \beta = -2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}. $$ Получаем: $$ \cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -2\sin \frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\sin \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = -2\sin 45^\circ \sin 30^\circ. $$ Подставим табличные значения $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$: $$ \cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}. $$ Тогда числитель равен: $$ \sqrt{3}\ (\cos 75^\circ - \cos 15^\circ) = \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2}. $$ Преобразуем знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$: $$ 1 - 2\sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. $$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{-\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = -\sqrt{2}. $$ --- **2)** Вычислим значение выражения: $$ \frac{2\cos^2 \frac{\pi}{8} - 1}{1 + 8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8}}. $$ Преобразуем числитель с помощью формулы косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$: $$ 2\cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$ Преобразуем знаменатель, применив формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$: $$ 8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8} = 2 \cdot \left(2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}\right)^2 = 2 \cdot \sin^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = 2\sin^2 \frac{\pi}{4}. $$ Так как $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то: $$ 2\sin^2 \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1. $$ Значит, знаменатель равен: $$ 1 + 8\sin^2 \frac{\pi}{8}\cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 + 1 = 2. $$ Подставим полученные значения в исходную дробь: $$ \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}. $$ --- **Ответ:** 1) $-\sqrt{2}$; 2) $\frac{\sqrt{2}}{4}$.