ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 549

**1)** Вычислим значение выражения $\cos \frac{23\pi}{4} - \sin \frac{15\pi}{4}$. Используем периодичность функций синуса и косинуса (период $2\pi$), а также свойство четности: $$\cos \frac{23\pi}{4} = \cos \left(6\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin \frac{15\pi}{4} = \sin \left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Подставим найденные значения: $$\cos \frac{23\pi}{4} - \sin \frac{15\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ Ответ: $\sqrt{2}$. --- **2)** Вычислим значение выражения $\sin \frac{25\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{10\pi}{3}$. Выделим целое число периодов ($2\pi$ для синуса и $\pi$ для тангенса): $$\sin \frac{25\pi}{3} = \sin \left(8\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\operatorname{tg} \frac{10\pi}{3} = \operatorname{tg} \left(3\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$ Выполним вычитание: $$\sin \frac{25\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{10\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. --- **3)** Вычислим значение выражения $3 \cos 3660^\circ + \sin (-1560^\circ)$. Используем четность косинуса, нечетность синуса и период $360^\circ$: $$\cos 3660^\circ = \cos (10 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$ Тогда: $$3 \cos 3660^\circ = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ Для синуса: $$\sin (-1560^\circ) = -\sin 1560^\circ = -\sin (4 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = -\sin 120^\circ$$ По формуле приведения $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно: $$\sin (-1560^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Сложим полученные значения: $$3 \cos 3660^\circ + \sin (-1560^\circ) = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$$ Ответ: $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$. --- **4)** Вычислим значение выражения $\cos (-945^\circ) + \operatorname{tg} 1035^\circ$. Используем четность косинуса, периодичность функций и формулы приведения: $$\cos (-945^\circ) = \cos 945^\circ = \cos (2 \cdot 360^\circ + 225^\circ) = \cos 225^\circ$$ $$\cos 225^\circ = \cos (180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Для тангенса с периодом $180^\circ$: $$\operatorname{tg} 1035^\circ = \operatorname{tg} (5 \cdot 180^\circ + 135^\circ) = \operatorname{tg} 135^\circ$$ $$\operatorname{tg} 135^\circ = \operatorname{tg} (180^\circ - 45^\circ) = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1$$ Сложим найденные слагаемые: $$\cos (-945^\circ) + \operatorname{tg} 1035^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} + (-1) = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$$ Ответ: $-\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$.