ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 541

1) Упростим выражение: $$ \frac{2(\cos \alpha + \cos 3\alpha)}{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha} $$ Преобразуем числитель, применив формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$: $$ \cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos(-\alpha) = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha $$ Тогда числитель равен: $$ 2 \cdot 2 \cos 2\alpha \cos \alpha = 4 \cos 2\alpha \cos \alpha $$ Преобразуем знаменатель. Для этого применим формулу синуса двойного угла $\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$ и вынесем общий множитель за скобки: $$ 2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha + 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2 \sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha) $$ Используем формулу понижения степени $1 + \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha$: $$ 2 \sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cdot 2 \cos^2 \alpha = 4 \sin 2\alpha \cos^2 \alpha $$ Подставим полученные выражения в дробь и выполним сокращение на $4 \cos \alpha$: $$ \frac{4 \cos 2\alpha \cos \alpha}{4 \sin 2\alpha \cos^2 \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos \alpha} = \frac{\operatorname{ctg} 2\alpha}{\cos \alpha} $$ Ответ: $\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos \alpha}$ (или $\frac{\operatorname{ctg} 2\alpha}{\cos \alpha}$). --- 2) Упростим выражение: $$ \frac{1 + \sin \alpha - \cos 2\alpha - \sin 3\alpha}{2 \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1} $$ Сгруппируем слагаемые в числителе: $$ (1 - \cos 2\alpha) + (\sin \alpha - \sin 3\alpha) $$ Применим формулу $1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha$ и формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2}$: $$ \sin \alpha - \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{\alpha - 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} = 2 \sin(-\alpha) \cos 2\alpha = -2 \sin \alpha \cos 2\alpha $$ Тогда числитель принимает вид: $$ 2 \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos 2\alpha = 2 \sin \alpha (\sin \alpha - \cos 2\alpha) $$ Преобразуем знаменатель, воспользовавшись формулой косинуса двойного угла через синус $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$, откуда $2 \sin^2 \alpha - 1 = -\cos 2\alpha$: $$ 2 \sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1 = \sin \alpha + (2 \sin^2 \alpha - 1) = \sin \alpha - \cos 2\alpha $$ Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь и сократим на общий множитель $(\sin \alpha - \cos 2\alpha)$: $$ \frac{2 \sin \alpha (\sin \alpha - \cos 2\alpha)}{\sin \alpha - \cos 2\alpha} = 2 \sin \alpha $$ Ответ: $2 \sin \alpha$.