ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 51

1) По свойству корня нечётной степени $\sqrt[n]{a^n} = a$ при любом значении $a$: $$ \sqrt[3]{(x-2)^3} = x - 2 $$ а) при $x \geq 2$: $$ \sqrt[3]{(x-2)^3} = x - 2 $$ б) при $x < 2$: $$ \sqrt[3]{(x-2)^3} = x - 2 $$ 2) По свойству корня чётной степени $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$: $$ \sqrt{(3-x)^6} = \sqrt{((3-x)^3)^2} = |(3-x)^3| = |3-x|^3 $$ а) при $x \leq 3$ выражение $3 - x \geq 0$, следовательно, $|3-x| = 3-x$. Тогда: $$ \sqrt{(3-x)^6} = (3-x)^3 $$ б) при $x > 3$ выражение $3 - x < 0$, следовательно, $|3-x| = -(3-x) = x-3$. Тогда: $$ \sqrt{(3-x)^6} = (x-3)^3 $$ 3) Применим свойство корня чётной степени к каждому слагаемому: $$ \sqrt[4]{(x+6)^4} = |x+6| $$ $$ \sqrt{(x-3)^2} = |x-3| $$ Определим знаки выражений под знаком модуля на интервале $-1 < x < 2$: * Так как $x > -1$, то $x + 6 > -1 + 6 = 5 > 0$, поэтому $|x+6| = x+6$; * Так как $x < 2$, то $x - 3 < 2 - 3 = -1 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$. Раскрываем модули и упрощаем выражение: $$ \sqrt[4]{(x+6)^4} + \sqrt{(x-3)^2} = (x+6) + (3-x) = x + 6 + 3 - x = 9 $$ 4) Применим свойство корня чётной степени: $$ \sqrt[6]{(2x+1)^6} = |2x+1| $$ $$ \sqrt[4]{(4+x)^4} = |4+x| $$ Определим знаки выражений под знаком модуля на интервале $-3 < x < -1$: * Оценим $2x+1$: умножим двойное неравенство $-3 < x < -1$ на $2$, получим $-6 < 2x < -2$. Прибавим $1$: $-5 < 2x+1 < -1$. Значит, $2x+1 < 0$, следовательно, $|2x+1| = -(2x+1) = -2x-1$; * Оценим $4+x$: прибавим $4$ к частям неравенства $-3 < x < -1$, получим $1 < 4+x < 3$. Значит, $4+x > 0$, следовательно, $|4+x| = 4+x$. Подставим полученные выражения: $$ \sqrt[6]{(2x+1)^6} - \sqrt[4]{(4+x)^4} = (-2x-1) - (4+x) = -2x - 1 - 4 - x = -3x - 5 $$ **Ответ:** 1) а) $x-2$; б) $x-2$; 2) а) $(3-x)^3$; б) $(x-3)^3$; 3) $9$; 4) $-3x-5$.