ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 49

1) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} + (\sqrt[3]{\sqrt{a^4}})^3$. Используем свойства корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}$ и $(\sqrt[n]{a})^k = \sqrt[n]{a^k}$: Преобразуем первое слагаемое: $$\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}} = \sqrt[3 \cdot 3]{a^{18}} = \sqrt[9]{a^{18}} = a^{\frac{18}{9}} = a^2$$ Преобразуем второе слагаемое: $$(\sqrt[3]{\sqrt{a^4}})^3 = (\sqrt[3 \cdot 2]{a^4})^3 = (\sqrt[6]{a^4})^3 = \sqrt[6]{(a^4)^3} = \sqrt[6]{a^{12}} = a^{\frac{12}{6}} = a^2$$ Сложим полученные результаты: $$a^2 + a^2 = 2a^2$$ Ответ: $2a^2$. --- 2) Упростим выражение $(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 + 2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8$ при $x \ge 0$. Преобразуем первое слагаемое: $$(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}})^3 = (\sqrt[2 \cdot 3]{x^2})^3 = (\sqrt[6]{x^2})^3 = \sqrt[6]{(x^2)^3} = \sqrt[6]{x^6} = x$$ Преобразуем второе слагаемое, применив свойство $(\sqrt[n]{x})^n = x$: $$2(\sqrt[4]{\sqrt{x}})^8 = 2(\sqrt[4 \cdot 2]{x})^8 = 2(\sqrt[8]{x})^8 = 2x$$ Сложим подобные слагаемые: $$x + 2x = 3x$$ Ответ: $3x$. --- 3) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}} - (\sqrt[5]{xy^2})^5$ при $x \ge 0$, $y \ge 0$. Преобразуем первое слагаемое: $$\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{x^6y^{12}} = \sqrt[6]{x^6y^{12}} = \sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{y^{12}} = x \cdot y^{\frac{12}{6}} = xy^2$$ Преобразуем второе слагаемое: $$(\sqrt[5]{xy^2})^5 = xy^2$$ Выполним вычитание: $$xy^2 - xy^2 = 0$$ Ответ: $0$. --- 4) Упростим выражение $((\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5 - \sqrt[5]{a}) : \sqrt[10]{a^2}$ при $a > 0$. Упростим уменьшаемое в скобках по свойству $(\sqrt[n]{A})^n = A$: $$(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}})^5 = a\sqrt[5]{a}$$ Вынесем общий множитель $\sqrt[5]{a}$ за скобки: $$a\sqrt[5]{a} - \sqrt[5]{a} = \sqrt[5]{a}(a - 1)$$ Сократим показатель делителя: $$\sqrt[10]{a^2} = a^{\frac{2}{10}} = a^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a}$$ Выполним деление: $$\frac{\sqrt[5]{a}(a - 1)}{\sqrt[5]{a}} = a - 1$$ Ответ: $a - 1$.