ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 54

**1)** Упростим выражение: $$ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} - \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} $$ 1. Преобразуем числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $$ \sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) $$ Тогда первая дробь примет вид: $$ \frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} $$ 2. В числителе второй дроби вынесем общий множитель $\sqrt[4]{a}$ за скобки: $$ \sqrt{a} + \sqrt[4]{ab} = (\sqrt[4]{a})^2 + \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b} = \sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) $$ Тогда вторая дробь примет вид: $$ \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{a} $$ 3. Выполним вычитание: $$ (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} $$ Ответ: $\sqrt[4]{b}$. --- **2)** Упростим выражение: $$ \frac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} $$ 1. Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = \sqrt[3]{a}$, $y = \sqrt[3]{b}$: $$ a - b = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) $$ Сократим первую дробь: $$ \frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $$ 2. Разложим числитель второй дроби по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ a + b = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) $$ Сократим вторую дробь: $$ \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $$ 3. Выполним вычитание полученных выражений: $$ (\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) - (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} - \sqrt[3]{b^2} = 2\sqrt[3]{ab} $$ Ответ: $2\sqrt[3]{ab}$. --- **3)** Упростим выражение: $$ \left( \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - \sqrt[3]{ab} \right) : (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 $$ 1. Упростим дробь внутри скобок, применив формулу суммы кубов в числителе: $$ \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $$ 2. Выполним вычитание внутри скобок: $$ \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} $$ Свернем полученное трехчленное выражение по формуле квадрата разности: $$ \sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 $$ 3. Выполним деление: $$ \frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2} = 1 $$ Ответ: $1$.