ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 449

По условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то есть угол $\alpha$ принадлежит I четверти. 1) Определим четверть, в которой лежит угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$: Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то: $$ 0 < \frac{\pi}{2} - \alpha < \frac{\pi}{2} $$ Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти, где синус положителен. Следовательно, $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) > 0$ (знак «$+$»). 2) Определим четверть, в которой лежит угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$: Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то: $$ \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi $$ Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) < 0$ (знак «$-$»). 3) Преобразуем аргумент с учетом четности косинуса: $\cos(\alpha - \pi) = \cos(\pi - \alpha)$. Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то: $$ \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi $$ Угол $\pi - \alpha$ лежит во II четверти (или угол $\alpha - \pi$ лежит в III четверти), где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos(\alpha - \pi) < 0$ (знак «$-$»). 4) Определим четверть, в которой лежит угол $\alpha - \frac{\pi}{2}$: Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, вычтем $\frac{\pi}{2}$: $$ -\frac{\pi}{2} < \alpha - \frac{\pi}{2} < 0 $$ Угол $\alpha - \frac{\pi}{2}$ лежит в IV четверти, где тангенс отрицателен. Следовательно, $\operatorname{tg}\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) < 0$ (знак «$-$»). 5) Определим четверть, в которой лежит угол $\frac{3}{2}\pi - \alpha$: Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то: $$ \pi < \frac{3}{2}\pi - \alpha < \frac{3}{2}\pi $$ Угол $\frac{3}{2}\pi - \alpha$ находится в III четверти, где тангенс положителен. Следовательно, $\operatorname{tg}\left(\frac{3}{2}\pi - \alpha\right) > 0$ (знак «$+$»). 6) Определим четверть, в которой лежит угол $\pi - \alpha$: Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то: $$ \frac{\pi}{2} < \pi - \alpha < \pi $$ Угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен. Следовательно, $\sin(\pi - \alpha) > 0$ (знак «$+$»). Ответ: 1) $+$; 2) $-$; 3) $-$; 4) $-$; 5) $+$; 6) $+$.