ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 391

**1)** $\log_3 x + \log_9 x + \log_{27} x = \frac{11}{12}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Приведём все логарифмы к основанию $3$, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x$$ $$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x$$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$\log_3 x + \frac{1}{2} \log_3 x + \frac{1}{3} \log_3 x = \frac{11}{12}$$ Вынесем $\log_3 x$ за скобки: $$\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \log_3 x = \frac{11}{12}$$ $$\left(\frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}\right) \log_3 x = \frac{11}{12}$$ $$\frac{11}{6} \log_3 x = \frac{11}{12}$$ $$\log_3 x = \frac{11}{12} : \frac{11}{6}$$ $$\log_3 x = \frac{11}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{1}{2}$$ По определению логарифма: $$x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$ Значение $\sqrt{3} > 0$, условие ОДЗ выполняется. Ответ: $x = \sqrt{3}$. --- **2)** $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$ ОДЗ: $x > 0$. Приведём все логарифмы к основанию $3$: $$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{\frac{1}{2}}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 x = 2 \log_3 x$$ $$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = -\log_3 x$$ Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $$\log_3 x + 2 \log_3 x - \log_3 x = 6$$ $$2 \log_3 x = 6$$ $$\log_3 x = 3$$ По определению логарифма: $$x = 3^3 = 27$$ Значение $27 > 0$, условие ОДЗ выполняется. Ответ: $x = 27$. --- **3)** $\log_3 x \cdot \log_2 x = 4 \log_3 2$ ОДЗ: $x > 0$. Перейдём к основанию $3$ с помощью формулы $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$: $$\log_2 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 2}$$ Подставим это выражение в уравнение: $$\log_3 x \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 2} = 4 \log_3 2$$ $$\frac{(\log_3 x)^2}{\log_3 2} = 4 \log_3 2$$ Умножим обе части уравнения на $\log_3 2 \neq 0$: $$(\log_3 x)^2 = 4 (\log_3 2)^2$$ Отсюда получаем два случая: $$\log_3 x = 2 \log_3 2 \quad \text{или} \quad \log_3 x = -2 \log_3 2$$ 1) $\log_3 x = \log_3 (2^2)$ $\log_3 x = \log_3 4$ $x_1 = 4$ 2) $\log_3 x = \log_3 (2^{-2})$ $\log_3 x = \log_3 \frac{1}{4}$ $x_2 = \frac{1}{4}$ Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$. Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = \frac{1}{4}$. --- **4)** $\log_5 x \cdot \log_3 x = 9 \log_5 3$ ОДЗ: $x > 0$. Перейдём к логарифмам по основанию $3$: $$\log_5 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 5}, \quad \log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5}$$ Подставим эти соотношения в уравнение: $$\frac{\log_3 x}{\log_3 5} \cdot \log_3 x = 9 \cdot \frac{1}{\log_3 5}$$ $$\frac{(\log_3 x)^2}{\log_3 5} = \frac{9}{\log_3 5}$$ Умножим обе части на $\log_3 5 \neq 0$: $$(\log_3 x)^2 = 9$$ Следовательно: $$\log_3 x = 3 \quad \text{или} \quad \log_3 x = -3$$ 1) $\log_3 x = 3 \implies x_1 = 3^3 = 27$ 2) $\log_3 x = -3 \implies x_2 = 3^{-3} = \frac{1}{27}$ Оба найденных значения удовлетворяют условию $x > 0$. Ответ: $x_1 = 27$, $x_2 = \frac{1}{27}$.