ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 389

**1)** $\log_3 x = \frac{3}{x}$ Область определения уравнения: $x > 0$. Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y = \log_3 x$ и $y = \frac{3}{x}$ при $x > 0$. 1. График функции $y = \log_3 x$ — возрастающая логарифмическая кривая. Составим таблицу значений: | $x$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | 2. График функции $y = \frac{3}{x}$ при $x > 0$ — правая ветвь гиперболы, функция убывает. Составим таблицу значений: | $x$ | $1$ | $3$ | $6$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $1$ | $0{,}5$ | Так как функция $y = \log_3 x$ строго возрастает, а функция $y = \frac{3}{x}$ строго убывает на промежутке $(0; +\infty)$, графики имеют не более одной точки пересечения. По построенным точкам видно, что графики пересекаются в точке с координатами $(3; 1)$. Проверка: при $x = 3$ получаем: - левая часть: $\log_3 3 = 1$; - правая часть: $\frac{3}{3} = 1$. Равенство $1 = 1$ верно, следовательно, $x = 3$ — точный корень уравнения. Ответ: $x = 3$. --- **2)** $2^x = \log_{\frac{1}{2}} x$ Область определения уравнения: $x > 0$. Построим в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ при $x > 0$. 1. График функции $y = 2^x$ — показательная функция с основанием $2 > 1$, возрастает на всей области определения. Точки для построения: | $x$ | $0$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $1$ | $\approx 1{,}41$ | $2$ | $4$ | 2. График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая кривая с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$. Точки для построения: | $x$ | $0{,}25$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | Функция $y = 2^x$ строго возрастает, а $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ строго убывает на интервале $(0; +\infty)$, поэтому графики пересекаются ровно в одной точке. Определим положение точки пересечения: - при $x = 0{,}25$: $2^{0{,}25} \approx 1{,}19$, а $\log_{\frac{1}{2}} 0{,}25 = 2$ (график логарифма выше графика показательной функции); - при $x = 0{,}5$: $2^{0{,}5} \approx 1{,}41$, а $\log_{\frac{1}{2}} 0{,}5 = 1$ (график логарифма ниже графика показательной функции). Следовательно, абсцисса точки пересечения лежит в интервале $(0{,}25; 0{,}5)$. По чертежу приближенное значение корня равно: $$ x \approx 0{,}4 $$ Ответ: $x \approx 0{,}4$.