ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 359

1) $\log_5 \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 0$ Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция возрастает. Учитывая, что $0 = \log_5 1$, получаем равносильное неравенство: $$ \frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 1 $$ (Условие положительности подлогарифмического выражения $\frac{3x - 2}{x^2 + 1} > 0$ выполняется автоматически, так как дробь строго больше $1$). Так как $x^2 + 1 > 0$ при любых действительных значениях $x$, умножим обе части неравенства на знаменатель $x^2 + 1$ с сохранением знака неравенства: $$ 3x - 2 > x^2 + 1 $$ Перенесём все слагаемые в одну часть: $$ x^2 - 3x + 3 < 0 $$ Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 3x + 3$. Найдём его дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 < 0 $$ Так как старший коэффициент $a = 1 > 0$, а дискриминант $D < 0$, парабола расположена выше оси абсцисс, то есть $x^2 - 3x + 3 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 3 < 0$ не имеет решений. Ответ: решений нет. --- 2) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x^2 + 3}{x - 7} < 0$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, логарифмическая функция убывает. Представим $0$ как $\log_{\frac{1}{2}} 1$. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ \frac{2x^2 + 3}{x - 7} > 1 $$ Перенесём единицу в левую часть и приведём дробь к общему знаменателю: $$ \frac{2x^2 + 3}{x - 7} - 1 > 0 $$ $$ \frac{2x^2 + 3 - (x - 7)}{x - 7} > 0 $$ $$ \frac{2x^2 - x + 10}{x - 7} > 0 $$ Исследуем числитель $2x^2 - x + 10$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 1 - 80 = -79 < 0 $$ Так как $a = 2 > 0$ и $D < 0$, выражение $2x^2 - x + 10 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Дробь положительна тогда и только тогда, когда её знаменатель положителен: $$ x - 7 > 0 $$ $$ x > 7 $$ Ответ: $x \in (7; +\infty)$. --- 3) $\lg (3x - 4) < \lg (2x + 1)$ Основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция возрастает, поэтому знак неравенства для аргументов сохраняется. Составим систему с учётом области допустимых значений (достаточно потребовать положительность меньшего выражения): $$ \begin{cases} 3x - 4 < 2x + 1, \\ 3x - 4 > 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: $$ \begin{cases} 3x - 2x < 1 + 4, \\ 3x > 4 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 5, \\ x > \frac{4}{3} \end{cases} $$ Объединяя условия, получаем: $$ \frac{4}{3} < x < 5 $$ Ответ: $x \in \left(\frac{4}{3}; 5\right)$. --- 4) $\log_{\frac{1}{2}} (2x + 3) > \log_{\frac{1}{2}} (x + 1)$ Основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный. Подлогарифмические выражения должны быть строго положительными (достаточно потребовать положительность меньшего из них): $$ \begin{cases} 2x + 3 < x + 1, \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} $$ Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2x - x < 1 - 3, \\ 2x > -3 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < -2, \\ x > -1{,}5 \end{cases} $$ Числовые промежутки $(-\infty; -2)$ и $(-1{,}5; +\infty)$ не пересекаются, следовательно, система не имеет решений. Ответ: решений нет.