ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 361

**1)** $\lg (x^2 - 8x + 13) > 0$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, то функция $y = \lg t$ является возрастающей. Представим число $0$ как $\lg 1$: $$ \lg (x^2 - 8x + 13) > \lg 1 $$ Данное неравенство равносильно неравенству: $$ x^2 - 8x + 13 > 1 $$ *(Условие положительности подлогарифмического выражения $x^2 - 8x + 13 > 0$ при этом выполняется автоматически, так как оно больше $1$).* Перенесём слагаемые в левую часть: $$ x^2 - 8x + 12 > 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 12 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 6$. Разложим на множители: $$ (x - 2)(x - 6) > 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем: $$ x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty) $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$. --- **2)** $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 5x + 7) < 0$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{5} < 1$, то функция $y = \log_{\frac{1}{5}} t$ убывает, и при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный. Представим $0$ как $\log_{\frac{1}{5}} 1$: $$ \log_{\frac{1}{5}}(x^2 - 5x + 7) < \log_{\frac{1}{5}} 1 $$ Получаем равносильное неравенство: $$ x^2 - 5x + 7 > 1 $$ *(Условие $x^2 - 5x + 7 > 0$ выполняется, так как выражение больше $1$).* Перенесём единицу влево: $$ x^2 - 5x + 6 > 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Разложим на множители: $$ (x - 2)(x - 3) > 0 $$ Решением данного неравенства является: $$ x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$. --- **3)** $\log_2 (x^2 + 2x) < 3$ Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастает. Представим $3 = \log_2 2^3 = \log_2 8$. С учетом области допустимых значений (ОДЗ) неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 + 2x > 0, \\ x^2 + 2x < 8 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1) $x^2 + 2x > 0$ $$ x(x + 2) > 0 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) $$ 2) $x^2 + 2x - 8 < 0$ Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = 2$. $$ (x + 4)(x - 2) < 0 \implies x \in (-4; 2) $$ Найдём пересечение решений: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty) \\ x \in (-4; 2) \end{cases} \implies x \in (-4; -2) \cup (0; 2) $$ **Ответ:** $x \in (-4; -2) \cup (0; 2)$. --- **4)** $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) \geqslant -3$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция убывает. Представим число $-3$ в виде логарифма: $$ -3 = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} 8 $$ Учитывая ОДЗ и меняя знак неравенства на противоположный, переходим к равносильной системе: $$ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 > 0, \\ x^2 - 5x - 6 \leqslant 8 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство по отдельности: 1) $x^2 - 5x - 6 > 0$ Корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$: $x_1 = -1$, $x_2 = 6$. $$ (x + 1)(x - 6) > 0 \implies x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty) $$ 2) $x^2 - 5x - 6 \leqslant 8 \iff x^2 - 5x - 14 \leqslant 0$ Корни уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 7$. $$ (x + 2)(x - 7) \leqslant 0 \implies x \in [-2; 7] $$ Найдём пересечение полученных промежутков: $$ \begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (6; +\infty) \\ x \in [-2; 7] \end{cases} \implies x \in [-2; -1) \cup (6; 7] $$ **Ответ:** $x \in [-2; -1) \cup (6; 7]$.