ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 357

**1)** $\log_{15}(x-3) + \log_{15}(x-5) < 1$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > 5 \end{cases} \implies x > 5 $$ 2. Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и представив $1$ как $\log_{15} 15$, перепишем неравенство: $$ \log_{15}((x - 3)(x - 5)) < \log_{15} 15 $$ 3. Так как основание логарифма $15 > 1$, функция $y = \log_{15} t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ (x - 3)(x - 5) < 15 $$ Раскроем скобки и упростим: $$ x^2 - 5x - 3x + 15 < 15 $$ $$ x^2 - 8x < 0 $$ $$ x(x - 8) < 0 $$ Решим неравенство методом интервалов: $$ 0 < x < 8 $$ 4. Учтем ОДЗ ($x > 5$): $$ \begin{cases} 0 < x < 8 \\ x > 5 \end{cases} \implies 5 < x < 8 $$ **Ответ к пункту 1:** $x \in (5; 8)$ --- **2)** $\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + \log_{\frac{1}{3}}(12-x) \ge -2$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 12 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x < 12 \end{cases} \implies 2 < x < 12 $$ 2. Преобразуем левую часть по свойству логарифма, а правую представим в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$: $-2 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 3^2 = \log_{\frac{1}{3}} 9$. $$ \log_{\frac{1}{3}}((x - 2)(12 - x)) \ge \log_{\frac{1}{3}} 9 $$ 3. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}} t$ убывает, поэтому при переходе к выражениям под знаком логарифма меняем знак неравенства на противоположный: $$ (x - 2)(12 - x) \le 9 $$ Раскроем скобки: $$ 12x - x^2 - 24 + 2x \le 9 $$ $$ -x^2 + 14x - 24 - 9 \le 0 $$ $$ -x^2 + 14x - 33 \le 0 $$ Умножим обе части на $-1$ (знак неравенства меняется): $$ x^2 - 14x + 33 \ge 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 33 = 0$: $$ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 - 132 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{14 - 8}{2} = 3; \quad x_2 = \frac{14 + 8}{2} = 11 $$ Разложим на множители: $$ (x - 3)(x - 11) \ge 0 $$ Решением данного квадратного неравенства является: $$ x \le 3 \quad \text{или} \quad x \ge 11 $$ 4. Пересечем полученное решение с ОДЗ ($2 < x < 12$): $$ \begin{cases} x \in (-\infty; 3] \cup [11; +\infty) \\ 2 < x < 12 \end{cases} \implies x \in (2; 3] \cup [11; 12) $$ **Ответ к пункту 2:** $x \in (2; 3] \cup [11; 12)$