ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 348

1) $\log_2 x - 2 \log_x 2 = -1$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$: $$ \log_2 x - \frac{2}{\log_2 x} = -1 $$ Пусть $\log_2 x = t$, причем $t \neq 0$. Получаем уравнение: $$ t - \frac{2}{t} = -1 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ t^2 + t - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$. Выполним обратную замену: 1) $\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$; 2) $\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0,25$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $0,25$; $2$. --- 2) $\log_2 x + \log_x 2 = 2,5$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$: $$ \log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} = 2,5 $$ Пусть $\log_2 x = t$, причем $t \neq 0$. Запишем $2,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{5}{2}$: $$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2t$: $$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4} $$ $t_1 = \frac{8}{4} = 2$, $t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$. Выполним обратную замену: 1) $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$; 2) $\log_2 x = 0,5 \implies x = 2^{0,5} = \sqrt{2}$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\sqrt{2}$; $4$. --- 3) $\log_3 x + 2 \log_x 3 = 3$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$: $$ \log_3 x + \frac{2}{\log_3 x} = 3 $$ Пусть $\log_3 x = t$, причем $t \neq 0$: $$ t + \frac{2}{t} = 3 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ t^2 - 3t + 2 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$. Выполним обратную замену: 1) $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$; 2) $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $3$; $9$. --- 4) $\log_3 x - 6 \log_x 3 = 1$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$: $$ \log_3 x - \frac{6}{\log_3 x} = 1 $$ Пусть $\log_3 x = t$, причем $t \neq 0$: $$ t - \frac{6}{t} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ t^2 - t - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. Выполним обратную замену: 1) $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$; 2) $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{9}$; $27$.