ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 351

### 1) В учебнике уравнение имеет вид: $$\lg^2(x + 1) = \lg(x + 1) \cdot \lg(x - 1) + 2\lg^2(x - 1)$$ (в условии возникла типографическая погрешность при распознавании номера следующего пункта «2)» как знаменателя). Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} \iff x > 1$$ Пусть $a = \lg(x + 1)$ и $b = \lg(x - 1)$. Перепишем уравнение: $$a^2 - ab - 2b^2 = 0$$ Если $b = 0$, то $a = 0$, то есть $\lg(x - 1) = 0 \implies x = 2$, но тогда $a = \lg(2 + 1) = \lg 3 \neq 0$. Значит, $b \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $b^2$: $$\left(\frac{a}{b}\right)^2 - \frac{a}{b} - 2 = 0$$ Сделаем замену переменной $t = \frac{a}{b}$: $$t^2 - t - 2 = 0$$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $$t_1 = 2, \quad t_2 = -1$$ Вернемся к переменным $a$ и $b$: 1. При $t = 2$: $$\frac{a}{b} = 2 \implies a = 2b$$ $$\lg(x + 1) = 2\lg(x - 1)$$ $$\lg(x + 1) = \lg(x - 1)^2$$ $$x + 1 = (x - 1)^2$$ $$x + 1 = x^2 - 2x + 1$$ $$x^2 - 3x = 0$$ $$x(x - 3) = 0$$ $$x_1 = 0, \quad x_2 = 3$$ Проверим корни по ОДЗ ($x > 1$): - $x = 0$ не удовлетворяет ОДЗ ($0 < 1$); - $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 1$). 2. При $t = -1$: $$\frac{a}{b} = -1 \implies a = -b$$ $$\lg(x + 1) = -\lg(x - 1)$$ $$\lg(x + 1) + \lg(x - 1) = 0$$ $$\lg((x + 1)(x - 1)) = 0$$ $$(x + 1)(x - 1) = 10^0$$ $$x^2 - 1 = 1$$ $$x^2 = 2$$ $$x = \pm\sqrt{2}$$ Проверим корни по ОДЗ ($x > 1$): - $x = -\sqrt{2}$ не удовлетворяет ОДЗ; - $x = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ удовлетворяет ОДЗ ($\sqrt{2} > 1$). Ответ: $x = \sqrt{2}$; $x = 3$. --- ### 2) В учебнике уравнение имеет вид: $$2\log_5(4 - x) \cdot \log_{2x}(4 - x) = 3\log_5(4 - x) - \log_5(2x)$$ (в тексте задания аргумент второго логарифма содержит опечатку распознавания $\frac{4}{4-x}$ вместо $4-x$). Найдем ОДЗ уравнения: $$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ 2x > 0 \\ 2x \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x < 4 \\ x > 0 \\ x \neq 0{,}5 \end{cases} \iff x \in (0; 0{,}5) \cup (0{,}5; 4)$$ Используем формулу перехода к новому основанию $5$: $$\log_{2x}(4 - x) = \frac{\log_5(4 - x)}{\log_5(2x)}$$ Подставим это выражение в уравнение: $$2\log_5(4 - x) \cdot \frac{\log_5(4 - x)}{\log_5(2x)} = 3\log_5(4 - x) - \log_5(2x)$$ Введем замену: пусть $u = \log_5(4 - x)$, $v = \log_5(2x)$. Так как $2x \neq 1$, то $v \neq 0$. $$2u \cdot \frac{u}{v} = 3u - v$$ Умножим обе части уравнения на $v \neq 0$: $$2u^2 = 3uv - v^2$$ $$2u^2 - 3uv + v^2 = 0$$ Разделим обе части на $v^2 \neq 0$: $$2\left(\frac{u}{v}\right)^2 - 3\left(\frac{u}{v}\right) + 1 = 0$$ Найдем корни относительно $\frac{u}{v}$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$ $$\frac{u}{v} = \frac{3 \pm 1}{4}$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)_1 = 1, \quad \left(\frac{u}{v}\right)_2 = \frac{1}{2}$$ Рассмотрим оба случая: 1. $\frac{u}{v} = 1 \implies u = v$: $$\log_5(4 - x) = \log_5(2x)$$ $$4 - x = 2x$$ $$3x = 4$$ $$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$ Значение $x = \frac{4}{3}$ принадлежит интервалу $(0{,}5; 4)$, значит, является корнем. 2. $\frac{u}{v} = \frac{1}{2} \implies v = 2u$: $$\log_5(2x) = 2\log_5(4 - x)$$ $$\log_5(2x) = \log_5(4 - x)^2$$ $$2x = (4 - x)^2$$ $$2x = 16 - 8x + x^2$$ $$x^2 - 10x + 16 = 0$$ По теореме Виета корни: $$x_1 = 2, \quad x_2 = 8$$ Проверим корни по ОДЗ ($x \in (0; 0{,}5) \cup (0{,}5; 4)$): - $x = 8$ не входит в ОДЗ ($8 > 4$); - $x = 2$ входит в ОДЗ. Ответ: $x = 1\frac{1}{3}$; $x = 2$.