ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 300

1) Преобразуем известные логарифмы: $$ \log_3 15 = \log_3 (3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5 $$ По условию $\log_3 15 = a$, следовательно: $$ 1 + \log_3 5 = a \implies \log_3 5 = a - 1 $$ Теперь преобразуем искомое выражение $\log_{\sqrt{3}} 50$. Используем свойство логарифма $\log_{c^k} x = \frac{1}{k} \log_c x$: $$ \log_{\sqrt{3}} 50 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 50 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 50 = 2\log_3 50 $$ Разложим число $50$ на множители как $5 \cdot 10$: $$ \log_3 50 = \log_3 (5 \cdot 10) = \log_3 5 + \log_3 10 $$ Подставим известные значения $\log_3 5 = a - 1$ и $\log_3 10 = b$: $$ \log_3 50 = (a - 1) + b = a + b - 1 $$ Окончательно получаем: $$ \log_{\sqrt{3}} 50 = 2(a + b - 1) = 2a + 2b - 2 $$ 2) Перейдем к основанию $2$ в выражении $\log_4 1250$: $$ \log_4 1250 = \log_{2^2} 1250 = \frac{1}{2} \log_2 1250 = \frac{\log_2 1250}{2} $$ Разложим число $1250$ на простые множители: $1250 = 2 \cdot 625 = 2 \cdot 5^4$. Преобразуем числитель с помощью свойств логарифма произведения и степени: $$ \log_2 1250 = \log_2 (2 \cdot 5^4) = \log_2 2 + \log_2 5^4 = 1 + 4\log_2 5 $$ Так как по условию $\log_2 5 = a$, получаем: $$ \log_2 1250 = 1 + 4a $$ Подставим найденное выражение в исходную дробь: $$ \log_4 1250 = \frac{1 + 4a}{2} = 2a + \frac{1}{2} $$ Ответ: 1) $2(a + b - 1)$ (или $2a + 2b - 2$); 2) $\frac{4a + 1}{2}$ (или $2a + 0{,}5$).