ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 26

Пусть вершина данного угла равна $A$, а величина угла равна $60^\circ$. Центры вписанных окружностей $O_1, O_2, \ldots, O_n, \ldots$ лежат на биссектрисе этого угла, которая делит его пополам. Следовательно, угол между биссектрисой и каждой из сторон угла равен: $$\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$ Окружности последовательно вписаны в угол в направлении к его вершине так, что каждая следующая окружность касается предыдущей и расположена ближе к вершине угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной $A$, центром некоторой окружности $O_n$ радиуса $R_n$ и точкой касания этой окружности со стороной угла. В этом треугольнике катет $R_n$ лежит против угла $30^\circ$, значит: $$\sin 30^\circ = \frac{R_n}{AO_n} \implies AO_n = \frac{R_n}{\sin 30^\circ} = \frac{R_n}{\frac{1}{2}} = 2R_n$$ Таким образом, расстояние от вершины угла до центра первой окружности равно: $$AO_1 = 2R_1$$ Для любых двух соседних окружностей с номерами $n$ и $n+1$: * расстояние между их центрами выражается как разность их расстояний до вершины: $$O_n O_{n+1} = AO_n - AO_{n+1} = 2R_n - 2R_{n+1}$$ * так как окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $$O_n O_{n+1} = R_n + R_{n+1}$$ Приравняем эти выражения: $$2R_n - 2R_{n+1} = R_n + R_{n+1}$$ $$2R_n - R_n = 2R_{n+1} + R_{n+1}$$ $$R_n = 3R_{n+1} \implies R_{n+1} = \frac{1}{3}R_n$$ Следовательно: $$R_2 = \frac{1}{3}R_1$$ $$R_3 = \frac{1}{3}R_2 = \frac{1}{9}R_1$$ $$R_n = R_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$$ Отношение любого члена последовательности к предыдущему постоянно: $$q = \frac{R_{n+1}}{R_n} = \frac{1}{3}$$ Так как знаменатель геометрической прогрессии удовлетворяет условию $|q| < 1$ $\left(\left|\frac{1}{3}\right| < 1\right)$, последовательность радиусов $R_1, R_2, R_3, \ldots, R_n, \ldots$ образует бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Найдем сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, начиная со второго: $$S' = R_2 + R_3 + \ldots + R_n + \ldots$$ Первый член этой суммы равен $R_2 = \frac{1}{3}R_1$, а знаменатель равен $q = \frac{1}{3}$. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1 - q}$: $$S' = \frac{R_2}{1 - q} = \frac{\frac{1}{3}R_1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}R_1}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}R_1$$ Подставим найденную сумму в требуемое выражение: $$R_1 + 2(R_2 + R_3 + \ldots + R_n + \ldots) = R_1 + 2 \cdot S' = R_1 + 2 \cdot \left(\frac{1}{2}R_1\right) = R_1 + R_1 = 2R_1$$ Так как расстояние от центра первой окружности до вершины угла $AO_1 = 2R_1$, получаем: $$R_1 + 2(R_2 + R_3 + \ldots + R_n + \ldots) = AO_1$$ что и требовалось доказать. **Ответ:** $R_2 = \frac{1}{3}R_1$, $R_3 = \frac{1}{9}R_1$, $\ldots$, $R_n = R_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.