ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 161

1) $\sqrt[3]{x^3 - 2} = x - 2$ Возведем обе части уравнения в куб: $$ (\sqrt[3]{x^3 - 2})^3 = (x - 2)^3 $$ Применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $$ x^3 - 2 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 $$ $$ x^3 - 2 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $$ Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения и перенесем все слагаемые в левую часть: $$ -2 + 6x^2 - 12x + 8 = 0 $$ $$ 6x^2 - 12x + 6 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $6$: $$ x^2 - 2x + 1 = 0 $$ Свернем выражение по формуле квадрата разности: $$ (x - 1)^2 = 0 $$ $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ Проверка: Левая часть: $\sqrt[3]{1^3 - 2} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Правая часть: $1 - 2 = -1$. $-1 = -1$ — верно. Ответ: $x = 1$. --- 2) $\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5} = x - 2$ Возведем обе части уравнения в куб: $$ (\sqrt[3]{x^3 - 5x^2 + 16x - 5})^3 = (x - 2)^3 $$ $$ x^3 - 5x^2 + 16x - 5 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 $$ Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения и перенесем все слагаемые в левую часть: $$ -5x^2 + 16x - 5 + 6x^2 - 12x + 8 = 0 $$ Приведем подобные члены: $$ x^2 + 4x + 3 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_1 \cdot x_2 = 3 \end{cases} $$ Отсюда получаем: $$ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 $$ Проверка: 1. При $x = -1$: Левая часть: $\sqrt[3]{(-1)^3 - 5(-1)^2 + 16(-1) - 5} = \sqrt[3]{-1 - 5 - 16 - 5} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Правая часть: $-1 - 2 = -3$. $-3 = -3$ — верно. 2. При $x = -3$: Левая часть: $\sqrt[3]{(-3)^3 - 5(-3)^2 + 16(-3) - 5} = \sqrt[3]{-27 - 45 - 48 - 5} = \sqrt[3]{-125} = -5$. Правая часть: $-3 - 2 = -5$. $-5 = -5$ — верно. Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.