ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 159

### 1) $\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4}$ Перенесём слагаемое $-\sqrt{13+x}$ в правую часть уравнения, чтобы обе части были неотрицательными: $$ \sqrt{1-2x} = \sqrt{x+4} + \sqrt{13+x} $$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 1 - 2x \ge 0 \\ x + 4 \ge 0 \\ 13 + x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 0{,}5 \\ x \ge -4 \\ x \ge -13 \end{cases} \iff -4 \le x \le 0{,}5 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{1-2x})^2 = (\sqrt{x+4} + \sqrt{13+x})^2 $$ $$ 1 - 2x = (x + 4) + 2\sqrt{(x+4)(13+x)} + (13 + x) $$ $$ 1 - 2x = 2x + 17 + 2\sqrt{(x+4)(13+x)} $$ Изолируем корень: $$ -4x - 16 = 2\sqrt{(x+4)(13+x)} $$ Разделим обе части на $2$: $$ -2x - 8 = \sqrt{(x+4)(13+x)} $$ Левая часть уравнения должна быть неотрицательной: $-2x - 8 \ge 0 \iff -2x \ge 8 \iff x \le -4$. С учётом ОДЗ ($-4 \le x \le 0{,}5$) получаем единственное возможное значение: $x = -4$. Решим полученное уравнение аналитически, возведя обе части в квадрат: $$ (-2x - 8)^2 = (x+4)(13+x) $$ $$ 4x^2 + 32x + 64 = x^2 + 17x + 52 $$ $$ 3x^2 + 15x + 12 = 0 $$ Разделим уравнение на $3$: $$ x^2 + 5x + 4 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -5 \\ x_1 \cdot x_2 = 4 \end{cases} \implies x_1 = -4, \quad x_2 = -1 $$ Проверим найденные значения: * Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию $x \le -4$ (при подстановке в левую часть $-2(-1) - 8 = -6 < 0$). * Корень $x = -4$ удовлетворяет всем условиям. Выполним проверку подстановкой $x = -4$ в исходное уравнение: $$ \sqrt{1 - 2(-4)} - \sqrt{13 + (-4)} = \sqrt{-4 + 4} $$ $$ \sqrt{9} - \sqrt{9} = \sqrt{0} $$ $$ 3 - 3 = 0 \quad (\text{верно}) $$ Ответ: $-4$. --- ### 2) $\sqrt{7x+1} - \sqrt{6-x} = \sqrt{15+2x}$ Перенесём слагаемое $-\sqrt{6-x}$ в правую часть уравнения: $$ \sqrt{7x+1} = \sqrt{15+2x} + \sqrt{6-x} $$ Найдём ОДЗ уравнения: $$ \begin{cases} 7x + 1 \ge 0 \\ 15 + 2x \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -\frac{1}{7} \\ x \ge -7{,}5 \\ x \le 6 \end{cases} \iff -\frac{1}{7} \le x \le 6 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{7x+1})^2 = (\sqrt{15+2x} + \sqrt{6-x})^2 $$ $$ 7x + 1 = (15 + 2x) + 2\sqrt{(15+2x)(6-x)} + (6 - x) $$ $$ 7x + 1 = x + 21 + 2\sqrt{(15+2x)(6-x)} $$ Изолируем корень: $$ 6x - 20 = 2\sqrt{(15+2x)(6-x)} $$ Разделим обе части на $2$: $$ 3x - 10 = \sqrt{(15+2x)(6-x)} $$ Так как корень неотрицателен, левая часть также должна быть неотрицательной: $3x - 10 \ge 0 \iff x \ge \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$. С учётом ОДЗ переменная должна принадлежать промежутку $\left[3\frac{1}{3}; 6\right]$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ (3x - 10)^2 = (15+2x)(6-x) $$ $$ 9x^2 - 60x + 100 = 90 - 15x + 12x - 2x^2 $$ $$ 9x^2 - 60x + 100 = -2x^2 - 3x + 90 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 11x^2 - 57x + 10 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-57)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 10 = 3249 - 440 = 2809 = 53^2 $$ $$ x_1 = \frac{57 + 53}{2 \cdot 11} = \frac{110}{22} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{57 - 53}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11} $$ Проверим корни: * Число $x = \frac{2}{11}$ не удовлетворяет условию $x \ge 3\frac{1}{3}$, следовательно, является посторонним корнем. * Число $x = 5$ удовлетворяет условию $5 \in \left[3\frac{1}{3}; 6\right]$. Выполним проверку подстановкой $x = 5$ в исходное уравнение: $$ \sqrt{7 \cdot 5 + 1} - \sqrt{6 - 5} = \sqrt{15 + 2 \cdot 5} $$ $$ \sqrt{36} - \sqrt{1} = \sqrt{25} $$ $$ 6 - 1 = 5 \quad (\text{верно}) $$ Ответ: $5$.