ГДЗ по Алгебре за 10-11 классы Алимов, Колягин, Ткачева ответ на номер 164

1) Решим уравнение: $$ \sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}} = \sqrt{6} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под всеми квадратными корнями должны быть неотрицательными: $$ \begin{cases} 6x - 9 \ge 0 \\ x + \sqrt{6x - 9} \ge 0 \\ x - \sqrt{6x - 9} \ge 0 \end{cases} $$ Из первого неравенства получаем: $$ 6x \ge 9 \implies x \ge 1{,}5 $$ При $x \ge 1{,}5$ второе неравенство выполняется автоматически, так как $x > 0$ и $\sqrt{6x - 9} \ge 0$. Для третьего неравенства: $$ x \ge \sqrt{6x - 9} $$ Так как обе части неотрицательны при $x \ge 1{,}5$, возведем в квадрат: $$ x^2 \ge 6x - 9 \iff x^2 - 6x + 9 \ge 0 \iff (x - 3)^2 \ge 0 $$ Неравенство $(x - 3)^2 \ge 0$ верно при любых действительных $x$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge 1{,}5$. Поскольку обе части исходного уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ \left(\sqrt{x + \sqrt{6x - 9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x - 9}}\right)^2 = (\sqrt{6})^2 $$ Используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (x + \sqrt{6x - 9}) + 2\sqrt{(x + \sqrt{6x - 9})(x - \sqrt{6x - 9})} + (x - \sqrt{6x - 9}) = 6 $$ Приведем подобные слагаемые и свернем выражение под корнем по формуле разности квадратов: $$ 2x + 2\sqrt{x^2 - (6x - 9)} = 6 $$ $$ 2x + 2\sqrt{x^2 - 6x + 9} = 6 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ x + \sqrt{(x - 3)^2} = 3 $$ Так как $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $$ x + |x - 3| = 3 $$ $$ |x - 3| = 3 - x $$ По определению модуля равенство $|a| = -a$ выполняется тогда и только тогда, когда $a \le 0$: $$ x - 3 \le 0 \implies x \le 3 $$ С учетом ОДЗ ($x \ge 1{,}5$) получаем: $$ 1{,}5 \le x \le 3 $$ Ответ: $x \in [1{,}5; 3]$. --- 2) Решим уравнение: $$ \sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}} = 4 $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ \left(\sqrt{x + \sqrt{x + 11}} + \sqrt{x - \sqrt{x + 11}}\right)^2 = 4^2 $$ Раскроем квадрат суммы: $$ (x + \sqrt{x + 11}) + 2\sqrt{(x + \sqrt{x + 11})(x - \sqrt{x + 11})} + (x - \sqrt{x + 11}) = 16 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2x + 2\sqrt{x^2 - (x + 11)} = 16 $$ Разделим обе части на $2$: $$ x + \sqrt{x^2 - x - 11} = 8 $$ Оставим корень в левой части: $$ \sqrt{x^2 - x - 11} = 8 - x $$ Правая часть должна быть неотрицательной: $$ 8 - x \ge 0 \implies x \le 8 $$ Возведем обе части полученного уравнения в квадрат при условии $x \le 8$: $$ x^2 - x - 11 = (8 - x)^2 $$ $$ x^2 - x - 11 = 64 - 16x + x^2 $$ Перенесем слагаемые с переменной влево, а числа вправо: $$ -x + 16x = 64 + 11 $$ $$ 15x = 75 $$ $$ x = 5 $$ Значение $x = 5$ удовлетворяет условию $x \le 8$. Сделаем проверку, подставив $x = 5$ в исходное уравнение: $$ \sqrt{5 + \sqrt{5 + 11}} + \sqrt{5 - \sqrt{5 + 11}} = \sqrt{5 + \sqrt{16}} + \sqrt{5 - \sqrt{16}} = \sqrt{5 + 4} + \sqrt{5 - 4} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3 + 1 = 4 $$ Равенство $4 = 4$ верно, следовательно, $x = 5$ — корень уравнения. Ответ: $5$.