ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1588

1. Проверим, принадлежит ли точка $A(3; -4)$ графику гиперболы $y = -\frac{12}{x}$: $$y(3) = -\frac{12}{3} = -4$$ Следовательно, точка $A$ лежит на гиперболе и является точкой касания. 2. Составим уравнение касательной $l$ в точке $A(3; -4)$. Найдем производную функции $y(x) = -\frac{12}{x}$: $$y'(x) = \left(-\frac{12}{x}\right)' = \frac{12}{x^2}$$ Вычислим значение производной при $x = 3$, то есть угловой коэффициент касательной: $$k = y'(3) = \frac{12}{3^2} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$ Запишем уравнение касательной: $$y - (-4) = \frac{4}{3}(x - 3)$$ $$y + 4 = \frac{4}{3}x - 4$$ $$y = \frac{4}{3}x - 8$$ Запишем полученное уравнение в общем виде: $$4x - 3y - 24 = 0$$ 3. Пусть центр искомой окружности лежит на оси ординат, тогда он имеет координаты $C(0; y_0)$, где $y_0 \neq 0$. Так как окружность касается оси абсцисс, её радиус $R$ равен расстоянию от центра до оси $Ox$, то есть: $$R = |y_0|$$ Так как окружность касается прямой $l$, расстояние от центра $C(0; y_0)$ до прямой $4x - 3y - 24 = 0$ также равно радиусу $R$: $$d = \frac{|4 \cdot 0 - 3y_0 - 24|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-3y_0 - 24|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|3y_0 + 24|}{5}$$ Приравняем расстояние к радиусу: $$\frac{|3y_0 + 24|}{5} = |y_0|$$ $$|3y_0 + 24| = 5|y_0|$$ Решим уравнение, рассмотрев два случая: 1) $3y_0 + 24 = 5y_0$ $$2y_0 = 24$$ $$y_0 = 12$$ Тогда радиус равен $R = |12| = 12$. 2) $3y_0 + 24 = -5y_0$ $$8y_0 = -24$$ $$y_0 = -3$$ Тогда радиус равен $R = |-3| = 3$. Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения радиуса: $3$ и $12$. Ответ: $3$ или $12$.