ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1590

Пусть $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$) — абсциссы точек $A$ и $B$ соответственно. Так как точки $A$ и $B$ принадлежат графику функции $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$ и симметричны относительно вертикальной прямой $x = 2$, их ординаты равны, а прямая $x = 2$ является серединой отрезка между их абсциссами: $$ \frac{x_1 + x_2}{2} = 2 \implies x_1 + x_2 = 4 $$ $$ y(x_1) = y(x_2) $$ 1. Касательные к графику в точках $A$ и $B$ параллельны, следовательно, значения производной в этих точках совпадают: $y'(x_1) = y'(x_2)$. Найдем производную функции: $$ y'(x) = -3x^2 + 2ax + b $$ Приравняем значения производной в точках $x_1$ и $x_2$: $$ -3x_1^2 + 2ax_1 + b = -3x_2^2 + 2ax_2 + b $$ $$ 3(x_2^2 - x_1^2) - 2a(x_2 - x_1) = 0 $$ Поскольку $x_1 \neq x_2$, разделим обе части на $(x_2 - x_1)$: $$ 3(x_1 + x_2) - 2a = 0 $$ Подставим $x_1 + x_2 = 4$: $$ 3 \cdot 4 - 2a = 0 \implies 2a = 12 \implies a = 6 $$ 2. Используем равенство ординат $y(x_1) = y(x_2)$ при $a = 6$: $$ -x_1^3 + 6x_1^2 + bx_1 + c = -x_2^3 + 6x_2^2 + bx_2 + c $$ $$ (x_2^3 - x_1^3) - 6(x_2^2 - x_1^2) - b(x_2 - x_1) = 0 $$ Разделим на $(x_2 - x_1) \neq 0$: $$ (x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) - 6(x_1 + x_2) - b = 0 $$ Так как $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2$, подставим $x_1 + x_2 = 4$: $$ (4^2 - x_1 x_2) - 6 \cdot 4 - b = 0 $$ $$ 16 - x_1 x_2 - 24 - b = 0 \implies b = -8 - x_1 x_2 $$ 3. Составим уравнение касательной к графику функции в произвольной точке $x_0$: $$ y_{\text{кас}} = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0) $$ Определим ординату точки пересечения касательной с осью $Oy$ (при $x = 0$): $$ y_{\text{кас}}(0) = y(x_0) - x_0 y'(x_0) $$ Подставим выражения для $y(x_0)$ и $y'(x_0)$ с учетом $a = 6$: $$ y_{\text{кас}}(0) = (-x_0^3 + 6x_0^2 + bx_0 + c) - x_0(-3x_0^2 + 12x_0 + b) = 2x_0^3 - 6x_0^2 + c $$ По условию одна касательная проходит через точку $(0; 2)$, а другая — через точку $(0; 6)$. Следовательно, значения $2x_1^3 - 6x_1^2 + c$ и $2x_2^3 - 6x_2^2 + c$ равны $2$ и $6$ (в некотором порядке). Пусть $x_1 = 2 - d$ и $x_2 = 2 + d$, где $d > 0$. Тогда: $$ x_2 - x_1 = 2d $$ $$ x_1 x_2 = (2 - d)(2 + d) = 4 - d^2 $$ Рассмотрим разность значений ординат пересечения касательных с осью $Oy$: $$ (2x_2^3 - 6x_2^2 + c) - (2x_1^3 - 6x_1^2 + c) = 2(x_2^3 - x_1^3) - 6(x_2^2 - x_1^2) $$ $$ = (x_2 - x_1)\bigl(2((x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2) - 6(x_1 + x_2)\bigr) $$ Подставим $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 x_2 = 4 - d^2$ и $x_2 - x_1 = 2d$: $$ = 2d\bigl(2(16 - (4 - d^2)) - 6 \cdot 4\bigr) = 2d\bigl(2(12 + d^2) - 24\bigr) = 2d(2d^2) = 4d^3 $$ Так как точки пересечения равны $6$ и $2$, разность составляет: $$ 4d^3 = 6 - 2 = 4 \implies d^3 = 1 \implies d = 1 $$ Отсюда находим абсциссы точек касания: $$ x_1 = 2 - 1 = 1, \quad x_2 = 2 + 1 = 3 $$ 4. Найдем коэффициенты $c$ и $b$: Подставим $x_2 = 3$ в выражение для точки пересечения с осью $Oy$, равной $6$: $$ 2 \cdot 3^3 - 6 \cdot 3^2 + c = 6 $$ $$ 54 - 54 + c = 6 \implies c = 6 $$ (При подстановке $x_1 = 1$: $2 \cdot 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 6 = -4 + 6 = 2$, что согласуется с условием задачи). Вычислим коэффициент $b$: $$ b = -8 - x_1 x_2 = -8 - (1 \cdot 3) = -8 - 3 = -11 $$ Ответ: $a = 6$, $b = -11$, $c = 6$.