ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1586

Пусть $f(x) = 3 \cos 5x$ и $g(x) = 5 \cos 3x + 2$. Угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точках с абсциссой $x$ равны значениям их производных в этих точках: $k_1 = f'(x)$, $k_2 = g'(x)$. Касательные параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны: $$ f'(x) = g'(x) $$ 1. Найдем производные данных функций: $$ f'(x) = (3 \cos 5x)' = 3 \cdot (-\sin 5x) \cdot (5x)' = -15 \sin 5x $$ $$ g'(x) = (5 \cos 3x + 2)' = 5 \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)' + 0 = -15 \sin 3x $$ 2. Составим и решим уравнение: $$ -15 \sin 5x = -15 \sin 3x $$ Разделим обе части уравнения на $-15$: $$ \sin 5x = \sin 3x $$ $$ \sin 5x - \sin 3x = 0 $$ Применим формулу разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2}$: $$ 2 \sin\frac{5x - 3x}{2} \cos\frac{5x + 3x}{2} = 0 $$ $$ 2 \sin x \cos 4x = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos 4x = 0 $$ Решим каждое уравнение: 1) $\sin x = 0$ $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos 4x = 0$ $$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $\quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$.