ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1581

1) $y = \frac{2}{(x-1)(x-3)}$ Найдём область определения функции. Дробное выражение имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю: $$ (x - 1)(x - 3) \neq 0 $$ Произведение отлично от нуля тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю: $$ \begin{cases} x - 1 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq 3 \end{cases} $$ Следовательно, переменная $x$ может принимать любые действительные значения, кроме $1$ и $3$. Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$ (или $x \neq 1$; $x \neq 3$). --- 2) $y = \frac{1}{\cos x}$ Найдём область определения функции. Функция определена для всех $x$, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль: $$ \cos x \neq 0 $$ Косинус равен нулю в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Значит: $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. --- 3) $y = \frac{1}{\ln x}$ Найдём область определения функции. Должны одновременно выполняться два условия: 1. Выражение под знаком натурального логарифма должно быть строго положительным: $x > 0$. 2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $\ln x \neq 0$. Составим систему ограничений: $$ \begin{cases} x > 0 \\ \ln x \neq 0 \end{cases} $$ Так как $\ln x = 0$ при $x = 1$, получаем: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $$ Таким образом, областью определения функции являются два промежутка: от $0$ до $1$ и от $1$ до бесконечности. Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.