ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1580

### 1) $y = \frac{\sqrt{x^2}}{x}$ 1. **Область определения функции:** Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ x \neq 0 $$ Значит, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. **Преобразование выражения:** Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$: $$ y = \frac{|x|}{x} $$ Раскрываем модуль по определению при $x \neq 0$: * Если $x > 0$, то $|x| = x$, следовательно: $$ y = \frac{x}{x} = 1 $$ * Если $x < 0$, то $|x| = -x$, следовательно: $$ y = \frac{-x}{x} = -1 $$ Функцию можно записать кусочно: $$ y = \begin{cases} 1, & \text{при } x > 0, \\ -1, & \text{при } x < 0. \end{cases} $$ 3. **Построение графика:** График состоит из двух горизонтальных открытых лучей: * Луч $y = 1$, идущий вправо от выколотой точки $(0; 1)$; * Луч $y = -1$, идущий влево от выколотой точки $(0; -1)$. --- ### 2) $y = \frac{2}{1 - 2x}$ 1. **Область определения функции:** $$ 1 - 2x \neq 0 \implies 2x \neq 1 \implies x \neq 0{,}5 $$ Значит, $D(y) = (-\infty; 0{,}5) \cup (0{,}5; +\infty)$. 2. **Исследование функции и асимптоты:** Преобразуем выражение к стандартному виду: $$ y = -\frac{2}{2x - 1} = -\frac{1}{x - 0{,}5} $$ Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = -\frac{1}{x}$ вдоль оси абсцисс на $0{,}5$ единицы вправо. * Вертикальная асимптота: прямая $x = 0{,}5$. * Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось $Ox$). 3. **Контрольные точки для построения:** * При $x = -1{,}5$: $y = \frac{2}{1 - 2(-1{,}5)} = \frac{2}{4} = 0{,}5$; * При $x = -0{,}5$: $y = \frac{2}{1 - 2(-0{,}5)} = \frac{2}{2} = 1$; * При $x = 0$: $y = \frac{2}{1 - 0} = 2$ (точка пересечения с осью $Oy$); * При $x = 1$: $y = \frac{2}{1 - 2(1)} = \frac{2}{-1} = -2$; * При $x = 1{,}5$: $y = \frac{2}{1 - 2(1{,}5)} = \frac{2}{-2} = -1$; * При $x = 2{,}5$: $y = \frac{2}{1 - 2(2{,}5)} = \frac{2}{-4} = -0{,}5$. 4. **Построение графика:** Проводим пунктиром вертикальную асимптоту $x = 0{,}5$. Строим две ветви гиперболы по вычисленным точкам: левая ветвь лежит во II четверти относительно асимптот (выше оси $Ox$), правая — в IV четверти (ниже оси $Ox$). --- ### 3) $y = \frac{3x + 2}{2x - 3}$ 1. **Область определения функции:** $$ 2x - 3 \neq 0 \implies x \neq 1{,}5 $$ Значит, $D(y) = (-\infty; 1{,}5) \cup (1{,}5; +\infty)$. 2. **Выделение целой части:** $$ y = \frac{1{,}5(2x - 3) + 4{,}5 + 2}{2x - 3} = 1{,}5 + \frac{6{,}5}{2x - 3} = 1{,}5 + \frac{3{,}25}{x - 1{,}5} $$ График функции — гипербола: * Вертикальная асимптота: $x = 1{,}5$; * Горизонтальная асимптота: $y = 1{,}5$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Ox$ ($y = 0$): $3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67$, точка $\left(-\frac{2}{3}; 0\right)$; * С осью $Oy$ ($x = 0$): $y = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$, точка $\left(0; -\frac{2}{3}\right)$. 4. **Дополнительные точки для построения ветвей:** * При $x = -5$: $y = \frac{3(-5) + 2}{2(-5) - 3} = \frac{-13}{-13} = 1$; * При $x = -1$: $y = \frac{-3 + 2}{-2 - 3} = \frac{-1}{-5} = 0{,}2$; * При $x = 1$: $y = \frac{3 + 2}{2 - 3} = \frac{5}{-1} = -5$; * При $x = 2$: $y = \frac{6 + 2}{4 - 3} = 8$; * При $x = 4$: $y = \frac{12 + 2}{8 - 3} = \frac{14}{5} = 2{,}8$; * При $x = 8$: $y = \frac{24 + 2}{16 - 3} = \frac{26}{13} = 2$. 5. **Построение графика:** Наносим асимптоты $x = 1{,}5$ и $y = 1{,}5$. Через отмеченные точки проводим две ветви гиперболы: левая ветвь проходит через точки $(-5; 1)$, $(-1; 0{,}2)$, $\left(-\frac{2}{3}; 0\right)$, $\left(0; -\frac{2}{3}\right)$, $(1; -5)$; правая ветвь — через точки $(2; 8)$, $(4; 2{,}8)$, $(8; 2)$. --- ### 4) $y = \frac{2x}{2 - |x|}$ 1. **Область определения функции:** $$ 2 - |x| \neq 0 \implies |x| \neq 2 \implies x \neq \pm 2 $$ Значит, $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. 2. **Чётность функции:** $$ y(-x) = \frac{2(-x)}{2 - |-x|} = -\frac{2x}{2 - |x|} = -y(x) $$ Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат — точки $(0; 0)$. 3. **Раскрытие модуля:** * **При $x \ge 0$ (где $x \neq 2$):** $$ y = \frac{2x}{2 - x} = \frac{-2(2 - x) + 4}{2 - x} = -2 + \frac{4}{2 - x} = -2 - \frac{4}{x - 2} $$ На этом промежутке график представляет собой части гиперболы: * Вертикальная асимптота: $x = 2$; * Горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$: $y = -2$; * Точки: * при $x = 0$: $y = 0$; * при $x = 1$: $y = \frac{2}{1} = 2$; * при $x = 3$: $y = \frac{6}{-1} = -6$; * при $x = 4$: $y = \frac{8}{-2} = -4$; * при $x = 6$: $y = \frac{12}{-4} = -3$. * **При $x < 0$ (где $x \neq -2$):** Используем нечётность (центральную симметрию относительно $(0; 0)$) либо формулу: $$ y = \frac{2x}{2 - (-x)} = \frac{2x}{x + 2} = 2 - \frac{4}{x + 2} $$ * Вертикальная асимптота: $x = -2$; * Горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$: $y = 2$; * Симметричные точки: * $(-1; -2)$; * $(-3; 6)$; * $(-4; 4)$; * $(-6; 3)$. 4. **Построение графика:** * Отмечаем вертикальные асимптоты $x = -2$ и $x = 2$, а также горизонтальные асимптоты $y = 2$ (для $x < -2$) и $y = -2$ (для $x > 2$). * Центральная часть графика проходит через начало координат $(0; 0)$ между асимптотами от точки $(-1; -2)$ вверх к $(1; 2)$, стремясь к $-\infty$ при $x \to -2^+$ и к $+\infty$ при $x \to 2^-$. * Левая ветвь лежит в области $x < -2$ над асимптотой $y = 2$, проходя через точки $(-4; 4)$ и $(-3; 6)$. * Правая ветвь лежит в области $x > 2$ под асимптотой $y = -2$, проходя через точки $(3; -6)$ и $(4; -4)$.