ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1578

Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{3x^3-22x^2+40x}}{x-4} \geq 3x-10 $$ ### 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Для существования выражений, входящих в неравенство, должны выполняться условия: 1. Выражение под знаком квадратного корня неотрицательно: $$3x^3 - 22x^2 + 40x \geq 0$$ 2. Знаменатель дроби не равен нулю: $$x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$$ Разложим подкоренное выражение на множители: $$ x(3x^2 - 22x + 40) \geq 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 22x + 40 = 0$: $$ D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4 $$ $$ x_1 = \frac{22 - 2}{6} = \frac{10}{3}, \quad x_2 = \frac{22 + 2}{6} = 4 $$ Тогда подкоренное выражение принимает вид: $$ x(x - 4)(3x - 10) \geq 0 $$ Применим метод интервалов для нахождения знаков выражения $x(x - 4)(3x - 10)$: - при $x \in (-\infty; 0]$ выражение $\leq 0$; - при $x \in \left[0; \frac{10}{3}\right]$ выражение $\geq 0$; - при $x \in \left[\frac{10}{3}; 4\right]$ выражение $\leq 0$; - при $x \in [4; +\infty)$ выражение $\geq 0$. С учетом условия $x \neq 4$ получаем ОДЗ: $$ x \in \left[0; \frac{10}{3}\right] \cup (4; +\infty) $$ Заметим, что подкоренное выражение раскладывается как: $$ 3x^3 - 22x^2 + 40x = x(x-4)(3x-10) $$ Рассмотрим два возможных случая в соответствии с интервалами ОДЗ. --- ### 2. Случай 1: $x \in \left[0; \frac{10}{3}\right]$ На данном промежутке знаменатель отрицателен: $$ x - 4 \leq \frac{10}{3} - 4 = -\frac{2}{3} < 0 $$ Умножим обе части исходного неравенства на $(x - 4) < 0$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$ \sqrt{x(x-4)(3x-10)} \leq (3x-10)(x-4) $$ Пусть $A = (x-4)(3x-10)$. На рассматриваемом промежутке: - $x - 4 < 0$; - $3x - 10 \leq 0$. Следовательно, произведение $A = (x-4)(3x-10) \geq 0$. Тогда неравенство принимает вид: $$ \sqrt{x \cdot A} \leq A $$ Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ x \cdot A \leq A^2 $$ $$ A^2 - x \cdot A \geq 0 \iff A(A - x) \geq 0 $$ Так как $A \geq 0$: 1. Если $A = 0$, то неравенство верно ($0 \geq 0$). Равенство $A = 0$ достигается при $3x - 10 = 0 \implies x = \frac{10}{3}$ (значение $x = 4$ исключено из ОДЗ). 2. Если $A > 0$ (то есть при $x \in \left[0; \frac{10}{3}\right)$), разделим обе части на $A$: $$ A - x \geq 0 \implies (x-4)(3x-10) - x \geq 0 $$ $$ 3x^2 - 22x + 40 - x \geq 0 $$ $$ 3x^2 - 23x + 40 \geq 0 $$ Найдем корни трехчлена $3x^2 - 23x + 40 = 0$: $$ D = (-23)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 529 - 480 = 49 $$ $$ x_1 = \frac{23 - 7}{6} = \frac{8}{3}, \quad x_2 = \frac{23 + 7}{6} = 5 $$ Решением неравенства $3x^2 - 23x + 40 \geq 0$ является: $$ x \in \left(-\infty; \frac{8}{3}\right] \cup [5; +\infty) $$ Пересекая это множество с условием первого случая $x \in \left[0; \frac{10}{3}\right]$ и добавляя точку $x = \frac{10}{3}$, получаем: $$ x \in \left[0; \frac{8}{3}\right] \cup \left\{\frac{10}{3}\right\} $$ --- ### 3. Случай 2: $x \in (4; +\infty)$ На данном промежутке знаменатель положителен: $$ x - 4 > 0 $$ Умножим обе части исходного неравенства на $(x - 4) > 0$. Знак неравенства сохраняется: $$ \sqrt{x(x-4)(3x-10)} \geq (3x-10)(x-4) $$ Так как $x > 4$, то $3x - 10 > 2 > 0$, откуда выражение $A = (x-4)(3x-10) > 0$. Неравенство принимает вид: $$ \sqrt{x \cdot A} \geq A $$ Так как обе части положительны, возведем их в квадрат: $$ x \cdot A \geq A^2 $$ Разделим обе части на $A > 0$: $$ x \geq A \implies A - x \leq 0 $$ $$ 3x^2 - 23x + 40 \leq 0 $$ Корни квадратного трехчлена были найдены ранее: $x_1 = \frac{8}{3}$, $x_2 = 5$. Решение квадратного неравенства: $$ x \in \left[\frac{8}{3}; 5\right] $$ С учетом условия второго случая $x \in (4; +\infty)$, получаем: $$ x \in (4; 5] $$ --- ### 4. Объединение найденных решений Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим общее решение: $$ x \in \left[0; \frac{8}{3}\right] \cup \left\{\frac{10}{3}\right\} \cup (4; 5] $$ Ответ: $\left[0; \frac{8}{3}\right] \cup \left\{\frac{10}{3}\right\} \cup (4; 5]$