ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1534

### 1. Исследование функции $y = x^3 - 5x^2 - x + 5$ и построение её графика **1) Область определения:** Функция является многочленом, следовательно, определена при всех действительных значениях переменной: $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ **2) Чётность, нечётность:** $$y(-x) = (-x)^3 - 5(-x)^2 - (-x) + 5 = -x^3 - 5x^2 + x + 5$$ Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). **3) Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$ (при $x = 0$): $$y(0) = 0^3 - 5 \cdot 0^2 - 0 + 5 = 5$$ Точка пересечения: $(0; 5)$. * С осью $Ox$ (при $y = 0$): $$x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$$ Сгруппируем слагаемые: $$x^2(x - 5) - (x - 5) = 0$$ $$(x^2 - 1)(x - 5) = 0$$ $$(x - 1)(x + 1)(x - 5) = 0$$ $$x_1 = -1, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 5$$ Точки пересечения: $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(5; 0)$. **4) Промежутки знакопостоянства:** По методу интервалов для $(x + 1)(x - 1)(x - 5)$: * $y > 0$ при $x \in (-1; 1) \cup (5; +\infty)$; * $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 5)$. **5) Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную функции: $$y' = (x^3 - 5x^2 - x + 5)' = 3x^2 - 10x - 1$$ Найдём стационарные точки, решив уравнение $y' = 0$: $$3x^2 - 10x - 1 = 0$$ $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 100 + 12 = 112 = 16 \cdot 7$$ $$x_{1, 2} = \frac{10 \pm \sqrt{112}}{6} = \frac{10 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3}$$ Приближённо: * $x_1 = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx \frac{5 - 5{,}29}{3} \approx -0{,}10$ * $x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx \frac{5 + 5{,}29}{3} \approx 3{,}43$ Определим знаки производной методом интервалов: * при $x \in \left(-\infty; \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}\right)$ производная $y' > 0$ — функция возрастает; * при $x \in \left(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}; \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}\right)$ производная $y' < 0$ — функция убывает; * при $x \in \left(\frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}; +\infty\right)$ производная $y' > 0$ — функция возрастает. Точки экстремума: * $x_{\text{max}} = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \approx -0{,}10$ — точка максимума; $$y_{\text{max}} \approx y(-0{,}10) \approx (-0{,}10)^3 - 5(-0{,}10)^2 - (-0{,}10) + 5 \approx 5{,}05$$ * $x_{\text{min}} = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \approx 3{,}43$ — точка минимума; $$y_{\text{min}} \approx y(3{,}43) \approx (3{,}43)^3 - 5(3{,}43)^2 - 3{,}43 + 5 \approx -16{,}90$$ **6) Построение графика:** Для точного построения графика составим таблицу дополнительных значений: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-21$ | $0$ | $5$ | $0$ | $-9$ | $-16$ | $-15$ | $0$ | *Описание графика:* Кривая плавно возрастает из третьей четверти, пересекает ось абсцисс в точке $(-1; 0)$, достигает локального максимума в точке $(\approx -0{,}1; \approx 5{,}05)$, пересекает ось ординат в точке $(0; 5)$, затем убывает, проходя через нуль $(1; 0)$, точки $(2; -9)$ и $(3; -16)$, достигает локального минимума в точке $(\approx 3{,}43; \approx -16{,}90)$, после чего возрастает через точки $(4; -15)$ и $(5; 0)$, уходя вверх в первую четверть. --- ### 2. Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 4$ Уравнение касательной имеет вид: $$y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$$ 1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 4$: $$y(4) = 4^3 - 5 \cdot 4^2 - 4 + 5 = 64 - 5 \cdot 16 - 4 + 5 = 64 - 80 - 4 + 5 = -15$$ 2. Вычислим значение производной функции в точке $x_0 = 4$: $$y'(x) = 3x^2 - 10x - 1$$ $$y'(4) = 3 \cdot 4^2 - 10 \cdot 4 - 1 = 3 \cdot 16 - 40 - 1 = 48 - 41 = 7$$ 3. Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной: $$y = -15 + 7(x - 4)$$ $$y = -15 + 7x - 28$$ $$y = 7x - 43$$ **Ответ:** уравнение касательной: $y = 7x - 43$.