ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1537

**1)** $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9$ 1. Область определения функции: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Найдём производную функции: $$ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9\right)' = x^2 - 2x - 3 $$ 3. Найдём стационарные точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Разложим производную на множители: $$ y' = (x + 1)(x - 3) $$ 4. Определим знаки производной на полученных интервалах: * на промежутке $(-\infty; -1)$: $y' > 0$, функция возрастает; * на промежутке $(-1; 3)$: $y' < 0$, функция убывает; * на промежутке $(3; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. 5. Найдём точки экстремума: * при переходе через точку $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x = -1$ — точка максимума: $$ x_{\text{max}} = -1 $$ * при переходе через точку $x = 3$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x = 3$ — точка минимума: $$ x_{\text{min}} = 3 $$ 6. Вычислим значения функции в точках экстремума: $$ y_{\text{max}} = y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 9 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 9 = 10\frac{2}{3} $$ $$ y_{\text{min}} = y(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3^2 - 3 \cdot 3 + 9 = 9 - 9 - 9 + 9 = 0 $$ **Ответ к пункту 1:** $x_{\text{max}} = -1$, $y_{\text{max}} = 10\frac{2}{3}$; $x_{\text{min}} = 3$, $y_{\text{min}} = 0$. --- **2)** $y = -x^4 + 6x^2 - 9$ 1. Область определения функции: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2. Найдём производную функции: $$ y' = (-x^4 + 6x^2 - 9)' = -4x^3 + 12x $$ 3. Найдём стационарные точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ -4x^3 + 12x = 0 $$ $$ -4x(x^2 - 3) = 0 $$ $$ -4x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0 $$ Отсюда получаем три корня: $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{3}$. 4. Определим знаки производной на интервалах методом пробных точек: * на промежутке $(-\infty; -\sqrt{3})$: $y' > 0$, функция возрастает; * на промежутке $(-\sqrt{3}; 0)$: $y' < 0$, функция убывает; * на промежутке $(0; \sqrt{3})$: $y' > 0$, функция возрастает; * на промежутке $(\sqrt{3}; +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает. 5. Найдём точки экстремума: * при переходе через точки $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точки максимума: $$ x_{\text{max}} = -\sqrt{3}, \quad x_{\text{max}} = \sqrt{3} $$ * при переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума: $$ x_{\text{min}} = 0 $$ 6. Вычислим значения функции в точках экстремума: $$ y_{\text{max}} = y(\pm\sqrt{3}) = -(\pm\sqrt{3})^4 + 6(\pm\sqrt{3})^2 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 $$ $$ y_{\text{min}} = y(0) = -0^4 + 6 \cdot 0^2 - 9 = -9 $$ **Ответ к пункту 2:** $x_{\text{max}} = \pm\sqrt{3}$, $y_{\text{max}} = 0$; $x_{\text{min}} = 0$, $y_{\text{min}} = -9$.