ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1533

**1. Исследование функции с помощью производной** Дана функция: $$ y = x^3 - 3x + 2 $$ 1) **Область определения:** Функция определена при всех действительных значениях $x$: $$ D(y) = (-\infty; +\infty) $$ 2) **Чётность и нечётность:** $$ y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2 $$ Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). 3) **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $$ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 $$ Точка пересечения с осью ординат — $(0; 2)$. - С осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^3 - 3x + 2 = 0 $$ Заметим, что $x = 1$ является корнем уравнения ($1 - 3 + 2 = 0$). Разложим многочлен на множители: $$ x^3 - x - 2x + 2 = 0 $$ $$ x(x^2 - 1) - 2(x - 1) = 0 $$ $$ x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(x^2 + x - 2) = 0 $$ $$ (x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0 $$ $$ (x - 1)^2(x + 2) = 0 $$ Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Точки пересечения с осью абсцисс — $(1; 0)$ и $(-2; 0)$. 4) **Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума:** Найдём производную функции: $$ y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1) $$ Найдём критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$ 3(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1 $$ Определим знаки производной на полученных интервалах методом интервалов: - на промежутке $(-\infty; -1)$: $y' > 0$, функция возрастает; - на промежутке $(-1; 1)$: $y' < 0$, функция убывает; - на промежутке $(1; +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает. Следовательно: - в точке $x = -1$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x = -1$ — точка локального максимума; - в точке $x = 1$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, $x = 1$ — точка локального минимума. Вычислим значения функции в точках экстремума: $$ y_{\text{max}} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 $$ $$ y_{\text{min}} = y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 $$ --- **2. Точки, в которых касательные параллельны оси $Ox$** Касательная к графику функции параллельна оси $Ox$ (или совпадает с ней), если её угловой коэффициент равен нулю, то есть значение производной в точке касания равно нулю: $$ y'(x) = 0 $$ $$ 3x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm 1 $$ Найдём координаты соответствующих точек графика: - при $x = -1$: $y = 4$, получаем точку $(-1; 4)$ (уравнение касательной: $y = 4$ — прямая, параллельная оси $Ox$); - при $x = 1$: $y = 0$, получаем точку $(1; 0)$ (уравнение касательной: $y = 0$ — прямая, совпадающая с осью $Ox$). --- **3. Построение графика функции** Составим таблицу значений функции для более точного построения графика: | $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-16$ | $0$ | $4$ | $2$ | $0$ | $4$ | Порядок построения: 1. Отмечаем на координатной плоскости точки пересечения с осями: $(-2; 0)$, $(1; 0)$, $(0; 2)$. 2. Отмечаем точки экстремумов: точку максимума $(-1; 4)$ и точку минимума $(1; 0)$. 3. Проводим плавную кривую: из $-\infty$ функция возрастает до точки максимума $(-1; 4)$, затем убывает до точки минимума $(1; 0)$, касаясь оси абсцисс, и далее неограниченно возрастает в $+\infty$. **Ответ:** Точки, в которых касательные к графику параллельны оси $Ox$ (или совпадают с ней): $(-1; 4)$ и $(1; 0)$.