ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1530

Пусть $h$ — высота правильной треугольной призмы, вписанной в сферу радиуса $R$, где $0 < h < 2R$. Центр сферы совпадает с серединой отрезка, соединяющего центры оснований призмы. Пусть $r$ — радиус окружности, описанной около правильного треугольника, лежащего в основании призмы. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы $R$, радиусом описанной около основания окружности $r$ и половиной высоты призмы $\frac{h}{2}$, по теореме Пифагора получаем: $$ R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 $$ Отсюда выразим $r^2$: $$ r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} $$ Сторона $a$ правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $r$, равна $a = r\sqrt{3}$. Площадь основания призмы выражается через радиус $r$: $$ S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2 $$ Подставим выражение для $r^2$: $$ S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) $$ Тогда объём призмы как функция от высоты $h$ равен: $$ V(h) = S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{4}\left(R^2 h - \frac{h^3}{4}\right) $$ Исследуем функцию $V(h)$ на наибольшее значение на интервале $(0; 2R)$ с помощью производной: $$ V'(h) = \frac{3\sqrt{3}}{4}\left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) $$ Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $$ \frac{3\sqrt{3}}{4}\left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0 $$ $$ R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0 $$ $$ h^2 = \frac{4R^2}{3} $$ Учитывая, что $h > 0$, получаем: $$ h = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}R $$ Определим знаки производной на интервале $(0; 2R)$: - при $h \in \left(0; \frac{2\sqrt{3}}{3}R\right)$ выполняется $V'(h) > 0$, функция возрастает; - при $h \in \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}R; 2R\right)$ выполняется $V'(h) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $h = \frac{2\sqrt{3}}{3}R$ является единственной точкой максимума функции $V(h)$ на рассматриваемом интервале, и в ней объём призмы достигает своего наибольшего значения. Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}R$ (или $\frac{2R}{\sqrt{3}}$).