ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1528

Цилиндр наибольшего объёма, помещённый внутри сферы радиуса $R$, должен быть вписан в эту сферу, то есть окружности его оснований лежат на поверхности сферы. Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Центр сферы совпадает с центром симметрии цилиндра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), радиусом основания цилиндра $r$ и половиной его высоты $\frac{h}{2}$ (катеты). По теореме Пифагора: $$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$$ Выразим квадрат радиуса основания цилиндра через радиус сферы и высоту: $$r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$$ Так как $r > 0$ и $h > 0$, высота цилиндра удовлетворяет условию $0 < h < 2R$. Объём цилиндра вычисляется по формуле: $$V = \pi r^2 h$$ Подставим выражение для $r^2$ в формулу объёма: $$V(h) = \pi \left(R^2 - \frac{h^2}{4}\right) h = \pi \left(R^2 h - \frac{h^3}{4}\right)$$ Исследуем функцию $V(h)$ на наибольшее значение на интервале $(0; 2R)$ с помощью производной: $$V'(h) = \pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right)$$ Найдём критические точки, решив уравнение $V'(h) = 0$: $$\pi \left(R^2 - \frac{3h^2}{4}\right) = 0$$ $$R^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$$ $$\frac{3h^2}{4} = R^2$$ $$h^2 = \frac{4R^2}{3}$$ Так как $h > 0$: $$h = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}R$$ Определим знаки производной на интервале $(0; 2R)$: — при $0 < h < \frac{2\sqrt{3}}{3}R$ производная $V'(h) > 0$, функция возрастает; — при $\frac{2\sqrt{3}}{3}R < h < 2R$ производная $V'(h) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $h = \frac{2\sqrt{3}}{3}R$ является единственной точкой максимума функции $V(h)$ на рассматриваемом промежутке, и в ней достигается наибольший объём. Найдём радиус основания такого цилиндра: $$r = \sqrt{R^2 - \frac{h^2}{4}} = \sqrt{R^2 - \frac{1}{4} \cdot \frac{4R^2}{3}} = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}R^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}R$$ Найдём наибольший объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{2}{3}R^2 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}R = \frac{4\sqrt{3}\pi}{9}R^3$$ Ответ: цилиндр с радиусом основания $r = \frac{\sqrt{6}}{3}R$, высотой $h = \frac{2\sqrt{3}}{3}R$ (его объём равен $V = \frac{4\sqrt{3}\pi}{9}R^3$).