ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1524

Пусть $R$ — радиус шара, $h$ — высота цилиндра, а $r$ — радиус его основания. Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него цилиндра. Сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$, вписанный в большую окружность шара радиуса $R$. Диагональ этого прямоугольника равна диаметру шара $2R$. По теореме Пифагора: $$ (2r)^2 + h^2 = (2R)^2 $$ $$ 4r^2 + h^2 = 4R^2 \implies r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} $$ Так как высота цилиндра положительна и не может превышать диаметр шара, то $h \in (0; 2R)$. Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Подставим выражение для $r^2$: $$ V(h) = \pi \left( R^2 - \frac{h^2}{4} \right) h = \pi \left( R^2 h - \frac{h^3}{4} \right) $$ Исследуем функцию $V(h)$ на наибольшее значение с помощью производной: $$ V'(h) = \pi \left( R^2 - \frac{3h^2}{4} \right) $$ Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $$ \pi \left( R^2 - \frac{3h^2}{4} \right) = 0 $$ $$ \frac{3h^2}{4} = R^2 $$ $$ h^2 = \frac{4R^2}{3} $$ Учитывая, что $h > 0$, получаем единственный корень: $$ h = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}R}{3} $$ Определим знаки производной при переходе через эту точку на интервале $(0; 2R)$: — при $h \in \left( 0; \frac{2R}{\sqrt{3}} \right)$ производная $V'(h) > 0$, функция возрастает; — при $h \in \left( \frac{2R}{\sqrt{3}}; 2R \right)$ производная $V'(h) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $h = \frac{2\sqrt{3}R}{3}$ является точкой максимума функции $V(h)$, в которой цилиндр имеет наибольший объём. Ответ: $\frac{2\sqrt{3}R}{3}$ (или $\frac{2R}{\sqrt{3}}$).