ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1521

Пусть образующая конуса равна $l = 20$ дм, высота конуса равна $h$ дм, а радиус основания равен $R$ дм. Так как высота конуса, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник, по теореме Пифагора получаем: $$ R^2 + h^2 = l^2 $$ Отсюда выразим квадрат радиуса основания через высоту $h$: $$ R^2 = 20^2 - h^2 = 400 - h^2 $$ По геометрическому смыслу задачи высота конуса $h$ удовлетворяет условию $0 < h < 20$. Объём конуса вычисляется по формуле: $$ V = \frac{1}{3} \pi R^2 h $$ Подставим выражение для $R^2$ в формулу объёма и получим функцию объёма от переменной $h$: $$ V(h) = \frac{1}{3} \pi (400 - h^2) h = \frac{\pi}{3} (400h - h^3) $$ Исследуем полученную функцию на наибольшее значение на интервале $(0; 20)$ с помощью производной: $$ V'(h) = \left( \frac{\pi}{3} (400h - h^3) \right)' = \frac{\pi}{3} (400 - 3h^2) $$ Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю: $$ \frac{\pi}{3} (400 - 3h^2) = 0 $$ $$ 400 - 3h^2 = 0 $$ $$ h^2 = \frac{400}{3} $$ Учитывая, что $h > 0$: $$ h = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ (дм)} $$ Определим знаки производной в окрестности полученной точки на интервале $(0; 20)$: - при $0 < h < \frac{20\sqrt{3}}{3}$ значение $V'(h) > 0$, функция возрастает; - при $\frac{20\sqrt{3}}{3} < h < 20$ значение $V'(h) < 0$, функция убывает. Следовательно, точка $h = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ является точкой максимума функции $V(h)$, и при этом значении высоты объём конуса будет наибольшим. Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{3}$ дм.