ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1523

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Рассмотрим осевое сечение цилиндра и шара. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, вписанный в большую окружность шара радиуса $R$. Диагональ этого прямоугольника равна диаметру шара $2R$. По теореме Пифагора: $$ (2r)^2 + h^2 = (2R)^2 $$ $$ 4r^2 + h^2 = 4R^2 \implies h^2 = 4(R^2 - r^2) $$ Так как высота $h > 0$ и радиус основания $0 < r < R$, получаем: $$ h = 2\sqrt{R^2 - r^2} $$ Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S = 2\pi rh$. Подставим выражение для $h$: $$ S(r) = 2\pi r \cdot 2\sqrt{R^2 - r^2} = 4\pi r\sqrt{R^2 - r^2} $$ Найдем значение $r \in (0; R)$, при котором функция $S(r)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдем производную функции $S(r)$: $$ S'(r) = 4\pi \left( r' \cdot \sqrt{R^2 - r^2} + r \cdot \left(\sqrt{R^2 - r^2}\right)' \right) $$ $$ S'(r) = 4\pi \left( \sqrt{R^2 - r^2} + r \cdot \frac{-2r}{2\sqrt{R^2 - r^2}} \right) = 4\pi \left( \sqrt{R^2 - r^2} - \frac{r^2}{\sqrt{R^2 - r^2}} \right) $$ Приведем к общему знаменателю: $$ S'(r) = 4\pi \cdot \frac{(R^2 - r^2) - r^2}{\sqrt{R^2 - r^2}} = \frac{4\pi(R^2 - 2r^2)}{\sqrt{R^2 - r^2}} $$ Найдем критические точки функции на интервале $(0; R)$, решив уравнение $S'(r) = 0$: $$ R^2 - 2r^2 = 0 $$ $$ r^2 = \frac{R^2}{2} $$ Так как $r > 0$, получаем единственный корень: $$ r = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{R\sqrt{2}}{2} $$ Определим знаки производной на интервале $(0; R)$: — при $0 < r < \frac{R\sqrt{2}}{2}$ производная $S'(r) > 0$, следовательно, функция возрастает; — при $\frac{R\sqrt{2}}{2} < r < R$ производная $S'(r) < 0$, следовательно, функция убывает. Значит, точка $r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$ является точкой максимума, и в ней площадь боковой поверхности цилиндра принимает наибольшее значение. Ответ: $\frac{R\sqrt{2}}{2}$ (или $\frac{R}{\sqrt{2}}$).