ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1391

### 1) $\frac{5x + 4}{x - 3} < 4$ Перенесём число $4$ в левую часть неравенства и приведём дробь к общему знаменателю: $$ \frac{5x + 4}{x - 3} - 4 < 0 $$ $$ \frac{5x + 4 - 4(x - 3)}{x - 3} < 0 $$ $$ \frac{5x + 4 - 4x + 12}{x - 3} < 0 $$ $$ \frac{x + 16}{x - 3} < 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: 1. Найдём нуль числителя: $x + 16 = 0 \implies x = -16$. 2. Найдём нуль знаменателя: $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Отметим точки $-16$ и $3$ на числовой прямой выколотыми точками (так как знак неравенства строгий и знаменатель не может быть равен нулю). Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -16)$, $(-16; 3)$, $(3; +\infty)$. Определим знаки дроби $\frac{x + 16}{x - 3}$ на каждом интервале: * при $x \in (3; +\infty)$ дробь положительна ($+$); * при $x \in (-16; 3)$ дробь отрицательна ($-$). Например, при $x = 0$: $\frac{0 + 16}{0 - 3} = -\frac{16}{3} < 0$; * при $x \in (-\infty; -16)$ дробь положительна ($+$). Так как требуется решить неравенство со знаком $< 0$, выбираем интервал со знаком «минус». **Ответ:** $x \in (-16; 3)$. --- ### 2) $\frac{2}{x - 4} < 1$ Перенесём $1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{2}{x - 4} - 1 < 0 $$ $$ \frac{2 - (x - 4)}{x - 4} < 0 $$ $$ \frac{2 - x + 4}{x - 4} < 0 $$ $$ \frac{6 - x}{x - 4} < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{x - 6}{x - 4} > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$. 2. Нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \implies x = 4$. Отметим выколотые точки $4$ и $6$ на числовой прямой. Они разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; 4)$, $(4; 6)$, $(6; +\infty)$. Определим знаки выражения $\frac{x - 6}{x - 4}$: * при $x \in (6; +\infty)$ выражение принимает знак $(+)$; * при $x \in (4; 6)$ выражение принимает знак $(-)$; * при $x \in (-\infty; 4)$ выражение принимает знак $(+)$. Неравенство имеет знак $> 0$, поэтому решением являются промежутки со знаком «плюс». **Ответ:** $x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty)$. --- ### 3) $\frac{2}{x + 3} \leqslant 4$ Перенесём $4$ в левую часть неравенства и приведём к общему знаменателю: $$ \frac{2}{x + 3} - 4 \leqslant 0 $$ $$ \frac{2 - 4(x + 3)}{x + 3} \leqslant 0 $$ $$ \frac{2 - 4x - 12}{x + 3} \leqslant 0 $$ $$ \frac{-4x - 10}{x + 3} \leqslant 0 $$ Разделим обе части неравенства на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ \frac{2x + 5}{x + 3} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нуль числителя: $2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -2{,}5$. Точка закрашенная, так как неравенство нестрогое ($\geqslant$). 2. Нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Точка выколотая, так как делить на ноль нельзя ($x \neq -3$). Отметим точки $-3$ и $-2{,}5$ на числовой прямой. Они делят прямую на интервалы: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2{,}5]$, $[-2{,}5; +\infty)$. Определим знаки дроби $\frac{2x + 5}{x + 3}$: * при $x \in [-2{,}5; +\infty)$ (например, при $x = 0$): $\frac{2 \cdot 0 + 5}{0 + 3} = \frac{5}{3} > 0$ ($+$); * при $x \in (-3; -2{,}5)$ дробь отрицательна ($-$). Например, при $x = -2{,}7$: числитель отрицателен, знаменатель положителен; * при $x \in (-\infty; -3)$ дробь положительна ($+$). Например, при $x = -4$: числитель и знаменатель отрицательны, их отношение положительно. Неравенство имеет знак $\geqslant 0$, поэтому решением являются промежутки со знаком «плюс», включая нуль числителя. **Ответ:** $x \in (-\infty; -3) \cup [-2{,}5; +\infty)$.