ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1390

**1)** Дробь $\frac{3 - 2x}{3x - 2}$ отрицательна, если выполняется неравенство: $$ \frac{3 - 2x}{3x - 2} < 0 $$ Решим неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя: $$ 3 - 2x = 0 \implies x = \frac{3}{2} $$ $$ 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3} $$ Точки $x = \frac{2}{3}$ и $x = \frac{3}{2}$ разбивают числовую прямую на три интервала: $\left(-\infty; \frac{2}{3}\right)$, $\left(\frac{2}{3}; \frac{3}{2}\right)$, $\left(\frac{3}{2}; +\infty\right)$. Определим знак дроби на каждом интервале: * при $x \in \left(\frac{3}{2}; +\infty\right)$ (например, при $x = 2$): числитель $3 - 2 \cdot 2 = -1 < 0$, знаменатель $3 \cdot 2 - 2 = 4 > 0$, знак дроби «$-$»; * при $x \in \left(\frac{2}{3}; \frac{3}{2}\right)$ (например, при $x = 1$): числитель $3 - 2 \cdot 1 = 1 > 0$, знаменатель $3 \cdot 1 - 2 = 1 > 0$, знак дроби «$+$»; * при $x \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right)$ (например, при $x = 0$): числитель $3 - 0 = 3 > 0$, знаменатель $0 - 2 = -2 < 0$, знак дроби «$-$». Следовательно, дробь отрицательна при $x \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{3}{2}; +\infty\right)$. **Ответ:** $x \in \left(-\infty; \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{3}{2}; +\infty\right)$ (или $x < \frac{2}{3}$, $x > \frac{3}{2}$). --- **2)** Дробь $\frac{10 - 4x}{9x + 2}$ отрицательна, если: $$ \frac{10 - 4x}{9x + 2} < 0 $$ Найдём нули числителя и знаменателя: $$ 10 - 4x = 0 \implies 4x = 10 \implies x = \frac{5}{2} $$ $$ 9x + 2 = 0 \implies 9x = -2 \implies x = -\frac{2}{9} $$ Нанесём найденные точки на числовую прямую и определим знаки на интервалах $\left(-\infty; -\frac{2}{9}\right)$, $\left(-\frac{2}{9}; \frac{5}{2}\right)$, $\left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$: * при $x \in \left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$ (например, при $x = 3$): числитель $10 - 12 = -2 < 0$, знаменатель $27 + 2 = 29 > 0$, знак дроби «$-$»; * при $x \in \left(-\frac{2}{9}; \frac{5}{2}\right)$ (например, при $x = 0$): числитель $10 > 0$, знаменатель $2 > 0$, знак дроби «$+$»; * при $x \in \left(-\infty; -\frac{2}{9}\right)$ (например, при $x = -1$): числитель $10 - 4(-1) = 14 > 0$, знаменатель $9(-1) + 2 = -7 < 0$, знак дроби «$-$». Следовательно, дробь отрицательна при $x \in \left(-\infty; -\frac{2}{9}\right) \cup \left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$. **Ответ:** $x \in \left(-\infty; -\frac{2}{9}\right) \cup \left(\frac{5}{2}; +\infty\right)$ (или $x < -\frac{2}{9}$, $x > \frac{5}{2}$). --- **3)** Дробь $\frac{18 - 7x}{-4x^2 - 1}$ отрицательна, если: $$ \frac{18 - 7x}{-4x^2 - 1} < 0 $$ Оценим знаменатель дроби: для любого действительного числа $x$ верно $x^2 \ge 0$, значит, $4x^2 + 1 \ge 1 > 0$, отсюда: $$ -4x^2 - 1 = -(4x^2 + 1) < 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} $$ Так как знаменатель отрицателен при любых допустимых значениях $x$, дробь будет строго меньше нуля тогда и только тогда, когда её числитель положителен: $$ 18 - 7x > 0 $$ $$ -7x > -18 $$ $$ x < \frac{18}{7} $$ $$ x < 2\frac{4}{7} $$ **Ответ:** $x \in \left(-\infty; \frac{18}{7}\right)$ (или $x < 2\frac{4}{7}$).