ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1315

1) Докажем тождество: $$ \frac{2}{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}}=\sin\alpha $$ Преобразуем левую часть равенства. Для этого выразим тангенс и котангенс через синус и косинус половинного угла: $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$ и $\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$. Упростим выражение в знаменателе, приведя дроби к общему знаменателю: $$ \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} + \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} $$ Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $$ \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} $$ Подставим полученный знаменатель в исходную дробь: $$ \frac{2}{\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}+\operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $$ По формуле синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$: $$ 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \sin\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \sin\alpha $$ Левая часть тождества равна правой части: $$ \sin\alpha = \sin\alpha $$ Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \frac{\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{tg}\alpha}=\cos2\alpha $$ Преобразуем левую часть равенства. Выразим котангенс и тангенс через косинус и синус: $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Преобразуем числитель: $$ \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $$ Преобразуем знаменатель, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$: $$ \operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} $$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{\operatorname{ctg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{tg}\alpha} = \frac{\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $$ По формуле косинуса двойного угла $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha$: $$ \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha $$ Левая часть тождества равна правой части: $$ \cos2\alpha = \cos2\alpha $$ Тождество доказано.