ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1314

**1)** Докажем тождество: $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\cos\alpha $$ Преобразуем левую часть равенства, применив формулу разности синусов: $$ \sin x - \sin y = 2\sin\frac{x - y}{2}\cos\frac{x + y}{2} $$ Положим $x = \alpha + \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{3}$. Тогда: $$ \frac{x - y}{2} = \frac{\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $$ $$ \frac{x + y}{2} = \frac{\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) + \left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $$ Подставим полученные аргументы в формулу: $$ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha $$ Так как $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $$ Левая часть равна правой части, тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \sqrt{3}\cos\alpha $$ Преобразуем левую часть равенства, применив формулу суммы косинусов: $$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x + y}{2}\cos\frac{x - y}{2} $$ Положим $x = \frac{\pi}{6} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6} - \alpha$. Тогда: $$ \frac{x + y}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{6} $$ $$ \frac{x - y}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $$ Подставим полученные аргументы в формулу: $$ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = 2\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha $$ Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha $$ Левая часть равна правой части, тождество доказано.