ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1313

**1)** Докажем тождество $1 + \sin \alpha = 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$. Преобразуем правую часть тождества, применив формулу понижения степени $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$: $$ 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 + \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $$ Используя формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$, получаем: $$ 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 1 + \sin \alpha $$ Правая часть равна левой части. Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество $1 - \sin \alpha = 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$. Преобразуем правую часть тождества, применив формулу понижения степени $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$: $$ 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = 1 - \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $$ Используя формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$, получаем: $$ 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 1 - \sin \alpha $$ Правая часть равна левой части. Тождество доказано.