ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1287

Упростим выражение: $$ \left( \frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} - 9 \sqrt[3]{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}}} \right)^{-2} - (b^2 + 18b + 81)^{0,5} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): Так как в выражении присутствует $\sqrt{b}$ в знаменателе, должно выполняться $b > 0$. Кроме того, знаменатели не должны обращаться в нуль, то есть $b \neq 9$. Выполним преобразования по действиям: 1. Преобразуем первую дробь в скобках, вынеся общий множитель $\sqrt[3]{b}$ в знаменателе: $$ \frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} - 9\sqrt[3]{b}} = \frac{3\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b}(b - 9)} = \frac{3}{b - 9} $$ 2. Преобразуем вторую дробь в скобках, приведя знаменатель к общему виду: $$ \frac{1}{\sqrt{b} - \frac{9}{\sqrt{b}}} = \frac{1}{\frac{b - 9}{\sqrt{b}}} = \frac{\sqrt{b}}{b - 9} $$ 3. Сложим полученные дроби: $$ \frac{3}{b - 9} + \frac{\sqrt{b}}{b - 9} = \frac{3 + \sqrt{b}}{b - 9} $$ Разложим знаменатель $b - 9$ как разность квадратов: $b - 9 = (\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)$: $$ \frac{\sqrt{b} + 3}{(\sqrt{b} - 3)(\sqrt{b} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{b} - 3} $$ 4. Возведем полученное выражение в степень $-2$: $$ \left( \frac{1}{\sqrt{b} - 3} \right)^{-2} = (\sqrt{b} - 3)^2 = (\sqrt{b})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{b} + 3^2 = b - 6\sqrt{b} + 9 $$ 5. Упростим вычитаемое выражение $(b^2 + 18b + 81)^{0,5}$: По формуле квадрата суммы $b^2 + 18b + 81 = (b + 9)^2$. Тогда: $$ (b^2 + 18b + 81)^{0,5} = \sqrt{(b + 9)^2} = |b + 9| $$ Так как из ОДЗ $b > 0$, то выражение $b + 9 > 0$, и модуль раскрывается со знаком «плюс»: $$ |b + 9| = b + 9 $$ 6. Найдем разность результатов четвёртого и пятого действий: $$ (b - 6\sqrt{b} + 9) - (b + 9) = b - 6\sqrt{b} + 9 - b - 9 = -6\sqrt{b} $$ Ответ: $-6\sqrt{b}$