ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1285

1) Упростим выражение: $$ \left( \frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} - \frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} \right)^{-2} - \frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} $$ Выражение имеет смысл при $a > 0$ и $b > 0$. Преобразуем выражение в скобках по действиям. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе первой дроби: $$ \frac{a + \sqrt{ab}}{\sqrt{a^2 + ab}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a(a + b)}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{a}\sqrt{a + b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a + b}} $$ Аналогично преобразуем вторую дробь в скобках: $$ \frac{\sqrt{ab + b^2}}{\sqrt{ab} + b} = \frac{\sqrt{b(a + b)}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{b}\sqrt{a + b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $$ Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю: $$ \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a + b}} - \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 - (\sqrt{a + b})^2}{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{a + 2\sqrt{ab} + b - (a + b)}{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $$ Возведем полученную дробь в степень $-2$: $$ \left( \frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})} \right)^{-2} = \left( \frac{\sqrt{a + b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{2\sqrt{ab}} \right)^2 = \frac{(a + b)(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{4ab} $$ Раскроем квадрат суммы во втором множителе числителя: $$ \frac{(a + b)(a + 2\sqrt{ab} + b)}{4ab} = \frac{(a + b)^2 + 2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab} $$ Теперь упростим вычитаемую дробь: $$ \frac{\sqrt{a^3b} + \sqrt{ab^3}}{2ab} = \frac{a\sqrt{ab} + b\sqrt{ab}}{2ab} = \frac{\sqrt{ab}(a + b)}{2ab} $$ Приведем эту дробь к знаменателю $4ab$, умножив числитель и знаменатель на $2$: $$ \frac{2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab} $$ Найдем разность полученных выражений: $$ \frac{(a + b)^2 + 2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab} - \frac{2\sqrt{ab}(a + b)}{4ab} = \frac{(a + b)^2}{4ab} $$ Ответ к пункту 1: $\frac{(a + b)^2}{4ab}$. --- 2) Упростим выражение: $$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + \frac{2\left( a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} \right)}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} $$ Выражение имеет смысл при $a > 0$ и $b > 0$. Преобразуем первое слагаемое: $$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^{-2} \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{1}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} \cdot \frac{b + a}{ab} = \frac{a + b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} $$ Преобразуем числитель второго слагаемого, представив степени с отрицательным показателем в виде дробей: $$ 2\left( a^{-\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{2}} \right) = 2\left( \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} \right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{b} + \sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \frac{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} $$ Подставим полученный числитель во второе слагаемое и сократим на $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$: $$ \frac{\frac{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^3} = \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} $$ Сложим первое и второе слагаемые: $$ \frac{a + b}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} + \frac{2}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$, умножив числитель и знаменатель второй дроби на $\sqrt{ab}$: $$ \frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} $$ Заметим, что числитель представляет собой формулу квадрата суммы $a + 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$: $$ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{ab(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2} = \frac{1}{ab} $$ Ответ к пункту 2: $\frac{1}{ab}$.