ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1290

1) $\sin^2\left(\alpha + 8\pi\right) + \cos^2\left(\alpha + 10\pi\right)$ Так как период функций синус и косинус равен $2\pi$, прибавление к аргументу любого целого числа полных оборотов $2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$) не изменяет значения функции: $$\sin(\alpha + 2\pi k) = \sin\alpha, \quad \cos(\alpha + 2\pi k) = \cos\alpha$$ Поскольку $8\pi = 2\pi \cdot 4$ и $10\pi = 2\pi \cdot 5$, получаем: $$\sin(\alpha + 8\pi) = \sin\alpha$$ $$\cos(\alpha + 10\pi) = \cos\alpha$$ Подставим полученные значения в исходное выражение и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $$\sin^2(\alpha + 8\pi) + \cos^2(\alpha + 10\pi) = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ Ответ: $1$. 2) $\cos^2\left(\alpha + 6\pi\right) + \cos^2\left(\alpha - 4\pi\right)$ Используя свойство периодичности косинуса, где $6\pi = 2\pi \cdot 3$, а $-4\pi = 2\pi \cdot (-2)$, имеем: $$\cos(\alpha + 6\pi) = \cos\alpha$$ $$\cos(\alpha - 4\pi) = \cos\alpha$$ Подставим полученные значения в исходное выражение и приведем подобные слагаемые: $$\cos^2(\alpha + 6\pi) + \cos^2(\alpha - 4\pi) = \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha$$ Ответ: $2\cos^2\alpha$.