ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1283

1) Упростим выражение: $$ \left(\frac{a \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 1} + \sqrt{a}\right): \frac{a-1}{\sqrt{a} - 1} $$ Область допустимых значений: $a \ge 0$, $a \ne 1$. Заметим, что $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ к числителю первой дроби: $$ a\sqrt{a} - 1 = (\sqrt{a})^3 - 1^3 = (\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1) $$ Сократим первую дробь в скобках: $$ \frac{a\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} - 1} = a + \sqrt{a} + 1 $$ Выполним сложение в скобках и свернем полученный трехчлен по формуле квадрата суммы: $$ a + \sqrt{a} + 1 + \sqrt{a} = a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2 $$ Упростим делитель, разложив числитель по формуле разности квадратов $a - 1 = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)$: $$ \frac{a - 1}{\sqrt{a} - 1} = \frac{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} - 1} = \sqrt{a} + 1 $$ Выполним деление: $$ (\sqrt{a} + 1)^2 : (\sqrt{a} + 1) = \sqrt{a} + 1 $$ 2) Упростим выражение: $$ \left(\frac{1 + b \sqrt{b}}{1 + \sqrt{b}} - \sqrt{b}\right) \cdot \frac{1 + \sqrt{b}}{1 - b} $$ Область допустимых значений: $b \ge 0$, $b \ne 1$. Заметим, что $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$. Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ к числителю дроби в скобках: $$ 1 + b\sqrt{b} = 1^3 + (\sqrt{b})^3 = (1 + \sqrt{b})(1 - \sqrt{b} + b) $$ Сократим дробь в скобках: $$ \frac{1 + b\sqrt{b}}{1 + \sqrt{b}} = \frac{(1 + \sqrt{b})(1 - \sqrt{b} + b)}{1 + \sqrt{b}} = 1 - \sqrt{b} + b $$ Выполним вычитание в скобках и свернем полученное выражение по формуле квадрата разности: $$ 1 - \sqrt{b} + b - \sqrt{b} = 1 - 2\sqrt{b} + b = (1 - \sqrt{b})^2 $$ Упростим второй множитель, разложив его знаменатель по формуле разности квадратов $1 - b = (1 - \sqrt{b})(1 + \sqrt{b})$: $$ \frac{1 + \sqrt{b}}{1 - b} = \frac{1 + \sqrt{b}}{(1 - \sqrt{b})(1 + \sqrt{b})} = \frac{1}{1 - \sqrt{b}} $$ Выполним умножение: $$ (1 - \sqrt{b})^2 \cdot \frac{1}{1 - \sqrt{b}} = 1 - \sqrt{b} $$ Ответ: 1) $\sqrt{a} + 1$ 2) $1 - \sqrt{b}$