ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1280

**1)** Упростим выражение, применив формулу разности квадратов $(u + v)(u - v) = u^2 - v^2$: $$ \left( 1 + \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} \right) \cdot \left( 1 - \sqrt{\frac{a - x}{a + x}} \right) = 1^2 - \left(\sqrt{\frac{a - x}{a + x}}\right)^2 $$ Так как подкоренное выражение неотрицательно, получаем: $$ 1 - \frac{a - x}{a + x} = \frac{a + x - (a - x)}{a + x} = \frac{a + x - a + x}{a + x} = \frac{2x}{a + x} $$ Подставим значения $a = 5$ и $x = 4$: $$ \frac{2 \cdot 4}{5 + 4} = \frac{8}{9} $$ **2)** Приведём дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов в знаменателе: $$ \frac{a + \sqrt{a^2 - x^2}}{a - \sqrt{a^2 - x^2}} - \frac{a - \sqrt{a^2 - x^2}}{a + \sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{\left(a + \sqrt{a^2 - x^2}\right)^2 - \left(a - \sqrt{a^2 - x^2}\right)^2}{\left(a - \sqrt{a^2 - x^2}\right)\left(a + \sqrt{a^2 - x^2}\right)} $$ Раскроем скобки в числителе по формулам квадрата суммы и квадрата разности: $$ \left(a + \sqrt{a^2 - x^2}\right)^2 = a^2 + 2a\sqrt{a^2 - x^2} + (a^2 - x^2) $$ $$ \left(a - \sqrt{a^2 - x^2}\right)^2 = a^2 - 2a\sqrt{a^2 - x^2} + (a^2 - x^2) $$ Тогда числитель равен: $$ \left(a^2 + 2a\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 - x^2\right) - \left(a^2 - 2a\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 - x^2\right) = 4a\sqrt{a^2 - x^2} $$ Знаменатель преобразуется по формуле разности квадратов: $$ \left(a - \sqrt{a^2 - x^2}\right)\left(a + \sqrt{a^2 - x^2}\right) = a^2 - \left(\sqrt{a^2 - x^2}\right)^2 = a^2 - (a^2 - x^2) = x^2 $$ Таким образом, выражение принимает вид: $$ \frac{4a\sqrt{a^2 - x^2}}{x^2} $$ Подставим значения $a = 3$ и $x = \sqrt{5}$: $$ x^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 $$ $$ \sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{3^2 - 5} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2 $$ $$ \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5} = 4{,}8 $$ **Ответ:** 1) $\frac{2x}{a+x}$; значение равно $\frac{8}{9}$; 2) $\frac{4a\sqrt{a^2 - x^2}}{x^2}$; значение равно $4{,}8$.