ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1279

**1)** Упростим выражение: $$ \frac{1}{4 + 4\sqrt{a}} - \frac{1}{2 - 2a} + \frac{1}{4 - 4\sqrt{a}} $$ Разложим знаменатели дробей на множители: * $4 + 4\sqrt{a} = 4(1 + \sqrt{a})$; * $4 - 4\sqrt{a} = 4(1 - \sqrt{a})$; * $2 - 2a = 2(1 - a) = 2(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})$. Сложим сначала первую и третью дроби: $$ \frac{1}{4(1 + \sqrt{a})} + \frac{1}{4(1 - \sqrt{a})} = \frac{1 - \sqrt{a} + 1 + \sqrt{a}}{4(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})} = \frac{2}{4(1 - a)} = \frac{1}{2(1 - a)} = \frac{1}{2 - 2a} $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ \frac{1}{2 - 2a} - \frac{1}{2 - 2a} = 0 $$ Ответ: $0$ --- **2)** Сократим дробь: $$ \frac{a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1}{a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a} $$ Разложим числитель на множители способом группировки: $$ a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1 = (a\sqrt{2} + a) - (\sqrt{2} + 1) = a(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} + 1) = (a - 1)(\sqrt{2} + 1) $$ Разложим знаменатель на множители способом группировки: $$ a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a = (a\sqrt{2} + 2a) - (2 + \sqrt{2}) = a(\sqrt{2} + 2) - (\sqrt{2} + 2) = (a - 1)(\sqrt{2} + 2) $$ Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ из скобки $(\sqrt{2} + 2)$: $$ \sqrt{2} + 2 = \sqrt{2}(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) $$ Тогда знаменатель принимает вид: $$ (a - 1)\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1) $$ Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь и сократим её на общие множители $(a - 1)$ и $(\sqrt{2} + 1)$: $$ \frac{(a - 1)(\sqrt{2} + 1)}{(a - 1)\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$