ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1080

Для вычисления значений используем формулу числа сочетаний: $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ а также основные свойства: - $C_n^0 = 1$ - $C_n^1 = n$ - $C_n^n = 1$ - $C_n^k = C_n^{n-k}$ 1) По свойству $C_n^1 = n$: $C_7^1 = 7$. 2) По свойству $C_n^1 = n$: $C_6^1 = 6$. 3) Применим формулу сочетаний: $$ C_8^2 = \frac{8!}{2! \cdot (8-2)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2 \cdot 1 \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 $$ 4) Применим формулу сочетаний: $$ C_7^2 = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 $$ 5) Применим формулу сочетаний: $$ C_7^3 = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35 $$ 6) Применим формулу сочетаний: $$ C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56 $$ 7) Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_9^8 = C_9^{9-8} = C_9^1 = 9$. 8) Используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_{10}^9 = C_{10}^{10-9} = C_{10}^1 = 10$. 9) По свойству $C_n^n = 1$: $C_{15}^{15} = 1$. 10) По свойству $C_n^n = 1$: $C_{12}^{12} = 1$. 11) По свойству $C_n^0 = 1$: $C_{30}^{0} = 1$. 12) По свойству $C_n^0 = 1$: $C_{40}^{0} = 1$. 13) Используем формулу симметрии $C_{50}^{48} = C_{50}^{50-48} = C_{50}^2$: $$ C_{50}^{48} = C_{50}^2 = \frac{50 \cdot 49}{2 \cdot 1} = 25 \cdot 49 = 1225 $$ 14) Используем формулу симметрии $C_{40}^{38} = C_{40}^{40-38} = C_{40}^2$: $$ C_{40}^{38} = C_{40}^2 = \frac{40 \cdot 39}{2 \cdot 1} = 20 \cdot 39 = 780 $$ 15) Применим формулу сочетаний: $$ C_{70}^2 = \frac{70 \cdot 69}{2 \cdot 1} = 35 \cdot 69 = 2415 $$ 16) Применим формулу сочетаний: $$ C_{60}^2 = \frac{60 \cdot 59}{2 \cdot 1} = 30 \cdot 59 = 1770 $$ **Ответ:** 1) $7$; 2) $6$; 3) $28$; 4) $21$; 5) $35$; 6) $56$; 7) $9$; 8) $10$; 9) $1$; 10) $1$; 11) $1$; 12) $1$; 13) $1225$; 14) $780$; 15) $2415$; 16) $1770$.