ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение - 1077

Вспомним определение числа размещений из $n$ элементов по $k$: $$ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1) $$ где $n, k \in \mathbb{N}$ и $n \ge k$. ### 1) $A_m^2 = 72$ По определению размещений $m \ge 2$, $m \in \mathbb{N}$. $$ m(m-1) = 72 $$ $$ m^2 - m - 72 = 0 $$ По теореме Виета: $m_1 = 9$, $m_2 = -8$. Так как $m$ — натуральное число и $m \ge 2$, корень $m = -8$ не подходит. **Ответ:** $9$ --- ### 2) $A_m^2 = 56$ По определению размещений $m \ge 2$, $m \in \mathbb{N}$. $$ m(m-1) = 56 $$ $$ m^2 - m - 56 = 0 $$ По теореме Виета: $m_1 = 8$, $m_2 = -7$. Так как $m \in \mathbb{N}$ и $m \ge 2$, корень $m = -7$ не подходит. **Ответ:** $8$ --- ### 3) $A_m^3 = 12m$ По определению размещений $m \ge 3$, $m \in \mathbb{N}$. $$ m(m-1)(m-2) = 12m $$ Так как $m \ge 3$, то $m \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $m$: $$ (m-1)(m-2) = 12 $$ $$ m^2 - 3m + 2 = 12 $$ $$ m^2 - 3m - 10 = 0 $$ По теореме Виета: $m_1 = 5$, $m_2 = -2$. Число $-2$ не удовлетворяет условию $m \ge 3$. Значение $m = 5$ подходит. **Ответ:** $5$ --- ### 4) $A_m^3 = 20m$ По определению размещений $m \ge 3$, $m \in \mathbb{N}$. $$ m(m-1)(m-2) = 20m $$ Так как $m \ge 3$, то $m \ne 0$. Разделим обе части на $m$: $$ (m-1)(m-2) = 20 $$ $$ m^2 - 3m + 2 = 20 $$ $$ m^2 - 3m - 18 = 0 $$ По теореме Виета: $m_1 = 6$, $m_2 = -3$. Число $-3$ не удовлетворяет условию $m \ge 3$. Значение $m = 6$ подходит. **Ответ:** $6$ --- ### 5) $A_{m+1}^2 = 110$ По определению размещений $m+1 \ge 2 \implies m \ge 1$, $m \in \mathbb{N}$. $$ (m+1)m = 110 $$ $$ m^2 + m - 110 = 0 $$ По теореме Виета: $m_1 = 10$, $m_2 = -11$. Корень $m = -11$ не удовлетворяет условию $m \ge 1$. Значение $m = 10$ подходит. **Ответ:** $10$ --- ### 6) $A_{m+2}^2 = 90$ По определению размещений $m+2 \ge 2 \implies m \ge 0$, $m \in \mathbb{N}$. $$ (m+2)(m+1) = 90 $$ $$ m^2 + 3m + 2 = 90 $$ $$ m^2 + 3m - 88 = 0 $$ По теореме Виета: $m_1 = 8$, $m_2 = -11$. Корень $m = -11$ не удовлетворяет условию $m \ge 0$. Значение $m = 8$ подходит. **Ответ:** $8$ --- ### 7) $A_m^5 = 18A_{m-2}^4$ Область допустимых значений: $m \ge 5$ и $m-2 \ge 4 \implies m \ge 6$, $m \in \mathbb{N}$. Распишем размещения по формуле: $$ m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4) = 18(m-2)(m-3)(m-4)(m-5) $$ При $m \ge 6$ множители $(m-2)$, $(m-3)$ и $(m-4)$ отличны от нуля. Разделим обе части уравнения на выражение $(m-2)(m-3)(m-4)$: $$ m(m-1) = 18(m-5) $$ $$ m^2 - m = 18m - 90 $$ $$ m^2 - 19m + 90 = 0 $$ По теореме Виета: $m_1 = 9$, $m_2 = 10$. Оба значения удовлетворяют условию $m \ge 6$. **Ответ:** $9$; $10$ --- ### 8) $(m-4) \cdot A_m^4 = 21(m-5) \cdot A_{m-2}^3$ Область допустимых значений: $m \ge 4$ и $m-2 \ge 3 \implies m \ge 5$, $m \in \mathbb{N}$. Распишем размещения через произведение: $$ A_m^4 = m(m-1)(m-2)(m-3) $$ $$ A_{m-2}^3 = (m-2)(m-3)(m-4) $$ Подставим в уравнение: $$ (m-4) \cdot m(m-1)(m-2)(m-3) = 21(m-5) \cdot (m-2)(m-3)(m-4) $$ Так как $m \ge 5$, выражение $(m-2)(m-3)(m-4) \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $(m-2)(m-3)(m-4)$: $$ m(m-1) = 21(m-5) $$ $$ m^2 - m = 21m - 105 $$ $$ m^2 - 22m + 105 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 105 = 484 - 420 = 64 = 8^2 $$ $$ m_1 = \frac{22 + 8}{2} = 15 $$ $$ m_2 = \frac{22 - 8}{2} = 7 $$ Оба корня являются натуральными числами и удовлетворяют условию $m \ge 5$. **Ответ:** $7$; $15$